coefficient of variation
Le coefficient de variation est une mesure statistique de dispersion relative, définie comme le quotient de l'écart-type d'une série de données par sa moyenne. Contrairement à l'écart-type, qui est une mesure absolue exprimée dans l'unité de la variable, le coefficient de variation est sans dimension (ou exprimé en pourcentage), ce qui permet de comparer la dispersion de séries mesurant une grandeur comparable, même si leurs unités ou leurs ordres de grandeur diffèrent, à condition que cette comparaison reste interprétable. Il est particulièrement utile pour évaluer la variabilité relative de données issues de populations ou d'instruments de mesure distincts.
Contents
What you will learn
- Relier le coefficient de variation à l’écart-type et à la moyenne.
- Refaire un calcul complet sur quatre durées.
- Distinguer les conventions de population et d’échantillon.
- Repérer les moyennes nulles ou proches de zéro qui rendent le rapport inutilisable ou instable.
In plain terms
Quatre opérations prennent 8, 10, 10 et 12 minutes. Leur durée moyenne est de 10 minutes, et leur écart-type mesure l’éloignement des durées autour de ce centre.
Le coefficient de variation compare cet écart à la moyenne elle-même. Ici, l’écart-type vaut environ 1,41 minute, soit environ 14,1 % de 10 minutes. Ce pourcentage décrit une dispersion relative : il aide à comparer des séries dont les niveaux moyens ne sont pas les mêmes.
Definition
Le coefficient de variation, souvent abrégé CV, est le rapport entre une mesure d’écart-type et la moyenne correspondante. Pour une population de moyenne μ non nulle et d’écart-type σ, il se définit par . On le multiplie par 100 pour l’exprimer en pourcentage. Le rapport est sans dimension lorsque la moyenne et l’écart-type portent la même unité.
Dans un échantillon, la moyenne observée est notée et l’écart-type corrigé est noté s. L’estimation usuelle s’écrit alors . Il faut annoncer la convention retenue : diviser la somme des carrés par le nombre de valeurs décrit la série observée, tandis que la division par ce nombre diminué de 1 sert à estimer la dispersion d’une population à partir d’un échantillon.
Le CV convient surtout aux grandeurs mesurées sur une échelle de rapport, avec un zéro ayant un sens et une moyenne positive assez éloignée de zéro. Il reste inchangé si toutes les valeurs sont multipliées par une même constante positive. Cette propriété autorise, par exemple, la comparaison d’une même grandeur exprimée dans deux unités ou de séries dont les niveaux diffèrent. Elle ne rend pas automatiquement comparables des phénomènes sans rapport.
A step-by-step example
Une équipe relève quatre durées d’une même opération : 8, 10, 10 et 12 minutes. Ces quatre mesures constituent ici toute la série étudiée ; on utilise donc l’écart-type de population.
1. Additionner les durées et diviser par 4 : minutes.
2. Calculer les écarts à la moyenne : −2, 0, 0 et 2 minutes.
3. Élever ces écarts au carré, faire leur moyenne, puis prendre la racine carrée : minute.
4. Rapporter l’écart-type à la moyenne : , soit environ 14,1 %. La dispersion représente donc environ 14,1 % du niveau moyen.
Le contrôle est refaisable : les écarts opposés −2 et 2 se compensent autour de 10, et . Si les quatre durées étaient un échantillon, l’écart-type corrigé vaudrait environ 1,63 minute et le CV estimé environ 16,3 %.
In practice
Pour comparer la régularité de deux procédés dont les durées moyennes diffèrent, on calcule le CV de chaque série avec la même convention d’écart-type. Le plus petit CV indique la plus faible dispersion relative. Si les moyennes sont semblables, l’écart-type suffit souvent et conserve l’unité parlante.
Pour comparer un instrument avant et après un changement d’unité, on vérifie que toutes les mesures ont seulement été multipliées par la même constante. Le CV reste alors identique. Si le changement ajoute une constante, comme entre degrés Celsius et kelvins, cette invariance disparaît et la comparaison des CV peut perdre son sens.
Pour suivre une série comportant une valeur atypique, on examine aussi les données brutes. La moyenne et l’écart-type, donc le CV, peuvent tous trois être déplacés par cette valeur. Une mesure robuste de dispersion relative est préférable lorsque les valeurs extrêmes dominent le résultat.
Not to be confused with
Écart-type. Il mesure une dispersion absolue et conserve l’unité des données ; le CV rapporte cette dispersion à la moyenne et n’a pas d’unité. Dans l’exemple, 1,41 minute est l’écart-type, tandis que 14,1 % est le coefficient de variation.
Variance. Elle est la moyenne des écarts au carré dans la convention de population et s’exprime dans l’unité au carré. Pour les quatre durées, la variance vaut 2 min2 ; sa racine donne l’écart-type utilisé dans le CV.
Erreur relative. Elle rapporte l’écart d’une mesure à une valeur de référence. Le CV, lui, résume la dispersion de plusieurs observations autour de leur moyenne. Une mesure isolée comparée à une valeur attendue relève de l’erreur relative, pas du coefficient de variation.
Limits and pitfalls
Moyenne nulle. Si la moyenne vaut 0, le quotient n’est pas défini. Il ne faut ni annoncer un CV de 0 % ni remplacer arbitrairement le dénominateur ; il faut décrire la dispersion autrement.
Moyenne proche de zéro. Un petit dénominateur produit un CV très grand et instable. Le symptôme est qu’une légère variation de la moyenne bouleverse le pourcentage ; les données brutes et une mesure absolue sont alors plus informatives.
Valeurs négatives. Avec la formule signée, une moyenne négative donne un CV négatif, difficile à lire comme une ampleur. Certaines conventions utilisent la valeur absolue de la moyenne, mais ce choix doit être annoncé ; le CV convient surtout aux moyennes positives sur une échelle de rapport.
Convention d’écart-type. Pour 8, 10, 10 et 12 minutes, la convention de population donne 14,1 %, contre environ 16,3 % avec l’écart-type corrigé d’échantillon. Comparer des CV calculés avec des conventions différentes crée un écart artificiel.
Further reading
Écart-type — Retrouvez la mesure absolue placée au numérateur du coefficient de variation et son rôle dans la description d’une série.
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