connected metric space

Imaginez le segment des nombres compris entre 0 et 1. On peut y passer de 0,2 à 0,8 sans franchir de trou. Si l'on essaie de répartir tous ses points entre deux groupes séparés, la frontière entre les groupes appartient forcément à l'un d'eux et reste au contact de l'autre.

La connexité traduit cette impossibilité de couper l'espace en deux parties non vides qui seraient toutes deux ouvertes. Elle exprime donc l'idée d'un seul morceau, même lorsque ce morceau n'a pas une forme familière.

Un espace métrique est un ensemble X muni d'une distance d. Les boules définies par cette distance déterminent les sous-ensembles ouverts de X. L'espace est connexe lorsqu'il n'existe pas deux ouverts U et V, tous deux non vides et disjoints, dont la réunion est X : $X=U\cup VX=U\backslash cup\; V$. Une telle paire serait une séparation de X. Le même critère peut se formuler avec deux fermés disjoints non vides dont la réunion est X.

Deux tests équivalents complètent la définition. Les seuls sous-ensembles à la fois ouverts et fermés, appelés clopen, sont ∅ et X. De plus, toute application continue de X vers l'espace discret {0, 1} est constante : une fonction continue ne peut donc pas étiqueter deux morceaux séparés par 0 et 1.

Tout intervalle de la droite réelle est connexe. La connexité par arcs est plus exigeante : elle demande un chemin continu entre chaque paire de points. Elle entraîne la connexité, mais la définition d'un espace connexe n'exige aucun chemin.

La structure comporte d'abord un ensemble de points X et une distance d entre ces points. La distance engendre les ouverts, qui donnent un sens précis à la proximité sans imposer de dessin. Une séparation éventuelle serait formée de deux ouverts U et V, non vides, disjoints et couvrant X. Ces quatre conditions doivent être réunies en même temps.

Les fermés dépendent eux aussi des ouverts, par passage au complémentaire. Un sous-ensemble clopen relie les deux descriptions : s'il est autre que ∅ et X, ce sous-ensemble et son complément fournissent une séparation. Enfin, les applications continues vers {0, 1} transforment la même structure en test fonctionnel. La connexité dépend ainsi de la topologie engendrée par d. Multiplier toutes les distances par une même constante strictement positive ne change pas les ouverts, donc ne change pas la connexité.

Considérons l'intervalle X = [0, 1], muni de la distance usuelle entre deux réels. Tentons de le couper au point c = 0,5 avec U = [0, 0,5[ et V = [0,5, 1]. Pour l'illustration, un voisinage de rayon 0,08 est centré en c.

1. Les ensembles U et V sont non vides, disjoints et leur réunion est X. Trois conditions d'une séparation sont donc satisfaites.

2. Le point c appartient à V. Pourtant, pour tout rayon ε strictement positif et inférieur ou égal à 1, le point c − ε/2 appartient à U. Sa distance à c vaut ε/2, donc moins que ε. Aucun voisinage de c dans X ne reste entièrement dans V.

3. Par conséquent, V n'est pas ouvert dans X. Si c était placé dans U, le même raisonnement montrerait que U n'est pas ouvert. La coupure proposée n'est donc pas une séparation.

4. Le théorème de connexité des intervalles conclut que [0, 1] est connexe. Un contrôle équivalent consiste à essayer d'attribuer continûment la valeur 0 à U et 1 à V : l'étiquette changerait à la coupure, donc l'application vers {0, 1} ne serait pas continue.

Pour prouver qu'un espace est connexe, on peut supposer qu'il est couvert par deux ouverts disjoints et montrer que l'un est vide. Lorsque les complémentaires sont plus faciles à manipuler, le test par les sous-ensembles clopen offre une alternative équivalente.

Si l'espace est décrit par des fonctions, on cherche plutôt une application continue vers {0, 1}. En construire une qui prend réellement les deux valeurs prouve que l'espace est non connexe ; établir que toute telle application est constante prouve la connexité.

Dans un espace où des chemins sont disponibles, relier continûment chaque paire de points suffit à établir la connexité. Ce critère est pratique mais plus fort : l'échec d'une construction de chemin ne permet pas, à lui seul, de conclure que l'espace est non connexe.

Connexe et connexe par arcs. Un espace connexe ne se laisse pas séparer en deux ouverts non vides. Un espace connexe par arcs exige en plus un chemin continu entre deux points quelconques. Trouver de tels chemins prouve les deux propriétés ; savoir seulement qu'aucune séparation n'existe ne suffit pas à produire ces chemins.

Connexe et convexe. La convexité concerne un sous-ensemble d'un espace vectoriel et demande que chaque segment joignant deux de ses points reste dans l'ensemble. Un cercle est connexe par arcs, donc connexe, mais le segment joignant deux points opposés ne reste pas sur le cercle : il n'est pas convexe.

Un trou visuel ne décide pas toujours. La connexité porte sur les ouverts de l'espace lui-même. Un dessin déformé, une grande distance ou un étranglement ne prouvent aucune séparation ; il faut exhiber deux ouverts disjoints couvrants, ou un sous-ensemble clopen non trivial.

Retirer un seul point peut tout changer. L'intervalle [−1, 1] est connexe, tandis que [−1, 0[ ∪ ]0, 1] se partage en deux ouverts non vides dans l'espace obtenu. Il faut donc tester la connexité après toute suppression, même ponctuelle.

Les cas dégénérés restent connexes. L'ensemble vide et un espace réduit à un point ne peuvent pas être réunis à partir de deux ouverts disjoints non vides. La définition les classe donc comme connexes, même si l'image d'un « morceau » y paraît peu informative.

Une union ne préserve pas automatiquement la connexité. Réunir deux ensembles connexes séparés peut produire un ensemble non connexe. Une intersection commune non vide garantit en revanche la connexité de leur union ; il faut vérifier cette condition plutôt que juxtaposer les conclusions.

connexité - topologie - — Replace le critère de séparation dans le cadre général des espaces topologiques.

connexité par arcs — Approfondit la propriété plus forte fondée sur l'existence de chemins continus.

composante connexe d'un espace — Montre comment décomposer un espace non connexe en morceaux connexes maximaux.