Coordinate functions
Les fonctions coordonnées sont les fonctions composantes d'une application à valeurs vectorielles. Si f : E -> R^n est une application d'un espace E dans l'espace euclidien de dimension n, les fonctions coordonnées sont les fonctions f_1, f_2, ..., f_n telles que f(x) = (f_1(x), f_2(x), ..., f_n(x)). L'étude des propriétés de continuité, dérivabilité ou intégrabilité de f se ramène à celle de chacune de ses fonctions coordonnées.
Contents
What you will learn
- Identifier les fonctions scalaires qui composent une application à valeurs dans ℝⁿ.
- Calculer une valeur vectorielle en évaluant puis en assemblant ses composantes.
- Savoir sous quelles hypothèses continuité, dérivabilité et intégrabilité s'étudient coordonnée par coordonnée.
In plain terms
Imaginez une machine qui reçoit un nombre et renvoie un point du plan. Pour l'entrée 3, elle donne par exemple le point (9, 5). Deux fonctions ordinaires travaillent alors ensemble : la première fournit 9, l'abscisse, et la seconde 5, l'ordonnée.
Ces deux fonctions sont les fonctions coordonnées de la machine. Chacune suit une composante du résultat, ce qui ramène l'étude d'une sortie vectorielle à plusieurs études scalaires.
Definition
Soit E un ensemble et soit f une application de E vers l'espace euclidien ℝn. Pour chaque entier i compris entre 1 et n, la i-ième fonction coordonnée fi associe à un élément x de E la i-ième composante de f(x). Ainsi, les n fonctions scalaires f1, …, fn déterminent entièrement f.
En notant πi la projection qui extrait la i-ième coordonnée, cette relation s'écrit : . Réciproquement, toute famille de n fonctions de E vers ℝ définit une application à valeurs dans ℝn par .
Lorsque E porte la structure nécessaire, une propriété de f s'étudie composante par composante. Dans le cadre euclidien de dimension finie, f est continue exactement lorsque chaque fi l'est. La dérivabilité ou l'intégrabilité se traite de même, avec les hypothèses usuelles propres à la dérivée ou à l'intégrale considérée.
A step-by-step example
Une application f associe à chaque nombre réel t un point du plan. Ses données sont :
• l'entrée choisie est t = 3 ;
• la première fonction coordonnée est f1(t) = t2 ;
• la seconde est f2(t) = 2t − 1.
• l'entrée choisie est t = 3 ;
• la première fonction coordonnée est f1(t) = t2 ;
• la seconde est f2(t) = 2t − 1.
1. Calculez la première composante : f1(3) = 32 = 9.
2. Calculez la seconde : f2(3) = 2 × 3 − 1 = 5.
3. Assemblez les résultats dans leur ordre :
2. Calculez la seconde : f2(3) = 2 × 3 − 1 = 5.
3. Assemblez les résultats dans leur ordre :
Le résultat est donc le point de coordonnées (9, 5). Le schéma de décomposition rend visible le rôle séparé des deux fonctions. Pour contrôler le calcul, on projette le couple obtenu : sa première coordonnée vaut bien 9 et sa seconde vaut bien 5.
In practice
Pour tracer une trajectoire paramétrée dans le plan, on calcule séparément l'abscisse et l'ordonnée pour plusieurs valeurs du paramètre, puis on assemble les couples. Un tracé scalaire suffit seulement si la sortie ne possède qu'une composante.
Pour vérifier la continuité d'une application vers ℝn, on peut examiner chacune de ses fonctions coordonnées. Cette voie est préférable à une estimation vectorielle directe lorsque les expressions des composantes sont déjà connues et simples.
Dans un calcul numérique, les composantes permettent aussi de contrôler la sortie une valeur après l'autre. Si les coordonnées sont fortement liées par une contrainte, un traitement vectoriel global peut toutefois mieux préserver cette relation.
Not to be confused with
Fonction coordonnée et coordonnée d'un point. La fonction f1 accepte toutes les entrées de f, tandis que 9 est seulement sa valeur à l'entrée 3. Si l'entrée varie, la fonction demeure la même mais la coordonnée obtenue peut changer.
Fonction scalaire et fonction vectorielle. Une fonction coordonnée renvoie un réel ; l'application f renvoie le n-uplet formé de toutes ces valeurs. Dans l'exemple, f2(3) = 5 est scalaire, tandis que f(3) = (9, 5) est un point du plan.
Fonctions coordonnées et variables d'entrée. Le nombre de fonctions coordonnées dépend de la dimension de l'espace d'arrivée, pas du nombre de variables en entrée. Une application de ℝ2 vers ℝ3 possède ainsi trois fonctions coordonnées, chacune dépendant de deux variables.
Limits and pitfalls
Le repère compte. Les fonctions coordonnées changent lorsque l'on change de base dans l'espace d'arrivée, même si l'application vectorielle reste la même. Il faut donc annoncer le repère avant de comparer deux expressions composante par composante.
Le cas n = 1 n'est pas une exception. L'application possède alors une seule fonction coordonnée, identique à elle-même après l'identification de ℝ1 à ℝ. Chercher plusieurs composantes dans ce cas crée artificiellement de l'information.
La structure du domaine est indispensable. Si E est seulement un ensemble, parler de continuité, de dérivabilité ou d'intégrabilité n'a pas encore de sens. Il faut d'abord munir E de la topologie, de la structure vectorielle ou de la mesure adaptée.
La dimension finie simplifie le raisonnement. Pour une cible infinidimensionnelle, la régularité de toutes les coordonnées choisies ne garantit pas automatiquement la régularité dans la norme de l'espace. Il faut contrôler la topologie et le mode de convergence utilisés.
Further reading
Le produit cartésien éclaire la construction de ℝn comme ensemble de n-uplets et explique pourquoi une application vectorielle se décrit coordonnée par coordonnée.
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