Rademacher's theorem

Imaginez le graphe de la fonction qui associe à un nombre sa distance à zéro. Il forme un V : la pente vaut −1 à gauche et 1 à droite, mais aucune pente unique n'existe à la pointe.

Cette fonction ne varie jamais plus vite que la distance parcourue. Le théorème de Rademacher dit qu'une telle limitation de vitesse force l'existence d'une dérivée presque partout. Quelques angles peuvent subsister, mais l'ensemble des points problématiques a une mesure de Lebesgue nulle.

Soit un ouvert U de l'espace euclidien ℝⁿ et une application f de U dans l'espace euclidien ℝ^m. Elle est lipschitzienne s'il existe une constante L positive telle que, pour tous points x et y de U, la distance entre leurs images soit au plus L fois leur distance : $\parallel f(x)-f(y)\parallel \le L\parallel x-y\parallel \backslash lVert\; f(x)-f(y)\backslash rVert\; \backslash le\; L\backslash lVert\; x-y\backslash rVert$.

Le théorème de Rademacher garantit alors que f est dérivable presque partout dans U. Ici, dérivable signifie dérivable au sens de Fréchet : au voisinage de presque tout point x, une application linéaire A approche l'accroissement de f avec une erreur négligeable devant la longueur du déplacement h. Cette propriété s'écrit $f(x+h)=f(x)+A(h)+o(\parallel h\parallel )f(x+h)=f(x)+A(h)+o(\backslash lVert\; h\backslash rVert)$.

« Presque partout » autorise des points exceptionnels : leur ensemble doit seulement avoir une mesure de Lebesgue nulle. Lorsque n = 1, on retrouve le cas classique des fonctions lipschitziennes sur la droite.

Si U est un ouvert de ℝⁿ et si une application f de U dans ℝ^m est lipschitzienne, alors f est dérivable au sens de Fréchet en presque tout point de U. Autrement dit, l'ensemble des points de U où aucune approximation linéaire de premier ordre n'existe est de mesure de Lebesgue nulle.

Le domaine doit être un ouvert U de ℝⁿ, et l'application doit prendre ses valeurs dans un espace euclidien ℝ^m. Il faut surtout disposer d'une même constante L qui majore le rapport des distances pour toute paire de points du domaine. La conclusion porte sur les points intérieurs et affirme une dérivabilité presque partout, non partout.

La fonction qui associe à x la racine carrée de |x| sur ]−1, 1[ n'est pas lipschitzienne au voisinage de zéro : le rapport entre son accroissement et |x| devient arbitrairement grand. L'hypothèse bloque donc l'application du théorème sur tout le domaine. On peut restreindre l'étude à des intervalles éloignés de zéro, puis analyser directement le point restant.

Considérons sur la droite réelle la fonction f qui associe à tout nombre x sa valeur absolue : $f(x)=\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }f(x)=|x|$. Les données sont son domaine ℝ et la constante candidate L = 1.

1. Pour deux nombres x et y, l'inégalité triangulaire donne $\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }-\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }\le \mathrm{\mid }x-y\mathrm{\mid }||x|-|y||\backslash le|x-y|$. La fonction est donc 1-lipschitzienne.

2. Pour x strictement positif, f(x) = x. Sa dérivée vaut donc 1.

3. Pour x strictement négatif, f(x) = −x. Sa dérivée vaut donc −1.

4. En zéro, le taux d'accroissement vaut 1 en venant de droite et −1 en venant de gauche. Il n'a pas de limite unique : f n'est pas dérivable en 0.

Le seul point exceptionnel est donc 0. Le singleton {0} a une mesure de Lebesgue nulle, ce qui confirme exactement la conclusion du théorème. Le contrôle se refait en vérifiant les deux pentes et l'inégalité de l'étape 1.

En analyse réelle, on cherche souvent une dérivée sans pouvoir exclure tous les angles. Si une borne de Lipschitz est disponible, le théorème donne une dérivabilité presque partout. Si cette borne manque, il faut étudier la fonction par une autre méthode.

Pour une sous-variété lipschitzienne, les paramétrages peuvent présenter des plis. Rademacher fournit néanmoins une approximation linéaire en presque tout point, ce qui rend possible l'étude locale de directions tangentes presque partout.

Le bon réflexe consiste à séparer deux questions : la variation est-elle uniformément bornée par la distance, puis l'exception éventuelle est-elle négligeable pour la mesure de Lebesgue ?

Une fonction lipschitzienne n'est pas nécessairement dérivable partout. La valeur absolue tranche : elle est 1-lipschitzienne sur ℝ, mais elle n'est pas dérivable en zéro. Le théorème promet seulement que les exceptions forment un ensemble de mesure nulle.

Une fonction absolument continue sur un intervalle et une fonction lipschitzienne n'obéissent pas au même critère. La condition de Lipschitz impose une borne proportionnelle à chaque distance ; l'absolue continuité contrôle plutôt des familles d'intervalles. Toute fonction lipschitzienne sur un intervalle est absolument continue, mais la réciproque est fausse.

Un ensemble de mesure nulle n'est pas forcément vide. Dans l'exemple de la valeur absolue, il contient exactement un point, zéro. Il faut donc éviter de remplacer « presque partout » par « partout » lorsqu'on utilise la conclusion.

Le théorème porte sur l'intérieur du domaine ouvert. Il ne donne pas automatiquement une dérivée sur le bord d'un domaine fermé ; ce bord doit être traité séparément, par exemple avec une dérivée unilatérale en dimension un.

Une hypothèse seulement locale doit être formulée avec soin. Si la fonction est lipschitzienne dans un voisinage de chaque point, on applique le résultat sur ces voisinages ; il n'est pas nécessaire qu'une constante unique convienne à tout un domaine non borné.

La mesure de Lebesgue précise le sens de l'expression « presque partout » et la taille admise pour l'ensemble exceptionnel.

La fonction absolument continue situe, sur un intervalle, une régularité liée à la dérivabilité presque partout sans la confondre avec la condition de Lipschitz.