crossed quadrilateral

Imaginez quatre points reliés dans un ordre qui dessine un nœud papillon. Deux segments opposés se traversent : leur point de rencontre se trouve entre les deux extrémités de chacun. Le contour se croise donc lui-même avant de revenir au point de départ.

C’est cette intersection intérieure de deux côtés non consécutifs qui caractérise un quadrilatère croisé. Le simple croisement de ses diagonales ne suffit pas, car les diagonales ne sont pas des côtés.

Un quadrilatère est formé par quatre sommets reliés dans un ordre donné. Il est croisé lorsqu’une paire de côtés non consécutifs, aussi appelés côtés opposés, possède un point commun situé strictement à l’intérieur de chacun des deux segments. Le contour est alors auto-intersectant.

Notons A, B, C et D les sommets parcourus dans cet ordre, et I le point d’intersection des côtés [AB] et [CD]. Il existe alors deux nombres réels t et u, tous deux strictement compris entre 0 et 1, tels que :

Les inégalités strictes excluent une rencontre limitée à une extrémité. Selon l’ordre choisi pour les mêmes quatre points, le quadrilatère peut devenir croisé ou rester simple : l’ordre des sommets fait donc partie de sa définition. Cette classe se distingue notamment du quadrilatère convexe, dont le contour ne se coupe pas lui-même.

Dans un repère, prenons les sommets A(1 ; 1), B(5 ; 5), C(1 ; 5) et D(5 ; 1), reliés dans cet ordre. Les côtés à tester sont [AB] et [CD], car ils ne sont pas consécutifs. Le tracé associé permet de vérifier visuellement le calcul du point de croisement.

1. La droite portant [AB] a pour équation y = x.

2. La droite portant [CD] a pour équation y = 6 − x.

3. À l’intersection, x = 6 − x, donc x = 3 et y = 3. Le point commun est I(3 ; 3).

4. Le nombre 3 est strictement compris entre 1 et 5 pour les deux coordonnées qui varient sur chaque segment. Le point I est donc intérieur à [AB] et à [CD].

Le quadrilatère ABCD est croisé. Pour contrôler le résultat, on remplace x par 3 dans les deux équations : elles donnent chacune y = 3.

Pour classer une figure dessinée, on suit son contour dans l’ordre des sommets. Si deux côtés opposés se traversent en dehors de leurs extrémités, on retient la catégorie croisée ; sinon, on vérifie d’abord que la figure n’est pas dégénérée, puis on examine les catégories convexes ou concaves.

Pour contrôler une construction, on prolonge mentalement le moins possible les segments. Une intersection des droites porteuses située hors des segments ne compte pas : seuls les traits effectivement compris entre leurs sommets sont testés.

Avec des coordonnées, on calcule l’intersection de chaque paire de côtés opposés, puis on vérifie qu’elle appartient à l’intérieur des deux segments. Cette vérification évite de conclure d’après l’apparence d’un dessin imprécis.

Avec un quadrilatère convexe. Son contour ne s’auto-intersecte pas et ses deux diagonales se rencontrent à l’intérieur. Dans un carré, les diagonales se coupent, mais aucun côté ne traverse un côté opposé : le carré n’est pas croisé.

Avec un quadrilatère concave. Son contour reste simple, mais l’un de ses sommets forme un rentrant. Un dessin en pointe de flèche sans intersection de côtés est concave ; un contour en nœud papillon est croisé.

Avec le croisement des diagonales. Les diagonales joignent des sommets non consécutifs et ne font pas partie du contour. Leur intersection, fréquente dans les quadrilatères convexes, ne rend donc pas le quadrilatère croisé.

Intersection hors des segments. Deux droites porteuses peuvent se couper alors que leurs segments restent séparés. Le symptôme est un point obtenu seulement après prolongement ; il faut vérifier l’appartenance du point aux deux segments.

Contact à une extrémité. Si deux côtés non consécutifs se rencontrent uniquement en une extrémité, le point n’est pas intérieur aux deux segments. La condition stricte de la définition échoue : la figure est dégénérée, pas croisée au sens retenu ici.

Chevauchement. Deux côtés opposés colinéaires peuvent partager tout un segment. Il n’existe alors pas un unique point de croisement ; il faut décrire ce quadrilatère comme dégénéré et préciser le chevauchement.

Ordre des sommets. Un même ensemble de quatre points ne détermine pas à lui seul le contour. Avant de classer la figure, il faut lire l’ordre des liaisons : A–B–C–D peut être croisé alors qu’un autre ordre ne l’est pas.

La fiche quadrilatère replace le cas croisé dans la famille des figures à quatre côtés et précise le vocabulaire des sommets, côtés et diagonales.

La fiche quadrilatère convexe présente la classe au contour simple qui sert de comparaison directe pour tester l’absence d’auto-intersection.