cylindrical coordinates
Dans l'espace euclidien orienté muni d'un repère cartésien orthonormé (O, i, j, k), les coordonnées cylindriques d'un point M sont le triplet (r, θ, h) défini comme suit : r est le rayon du cylindre de révolution d'axe (O, k) passant par M, c'est-à-dire la distance de M à l'axe (O, k) ; si r > 0, θ est l'angle orienté du vecteur de base i vers le vecteur allant de O à m, noté , où m est le projeté orthogonal de M sur le plan (O, i, j) ; si r = 0, le point est sur l'axe et θ est indéterminé ; h est la hauteur algébrique de M sur cet axe, définie par . Les coordonnées cylindriques sont adaptées à l'étude des solides de révolution et permettent de simplifier les équations à symétrie axiale. Le lien avec les coordonnées cartésiennes est : x = r cos θ, y = r sin θ, z = h.
Contents
What you will learn
- Interpréter le rayon, l'angle azimutal et la hauteur.
- Convertir un point entre coordonnées cartésiennes et cylindriques.
- Reconnaître les cas où l'angle n'est pas unique ou devient indéterminé.
- Distinguer les coordonnées cylindriques des repérages cartésien, polaire et sphérique.
In plain terms
Imaginez un point dans une pièce et un poteau vertical passant par l'origine. Trois indications suffisent pour situer le point : sa distance au poteau, la direction dans laquelle tourner autour du poteau, puis sa hauteur.
Ces trois indications sont les coordonnées cylindriques : le rayon r, l'angle θ et la hauteur h. Elles décrivent naturellement les objets organisés autour d'un axe, comme un cylindre, sans remplacer le point lui-même.
Definition
Dans un espace orienté muni d'un repère cartésien orthonormé d'origine O, les coordonnées cylindriques d'un point M forment un triplet (r, θ, h). Le rayon cylindrique r est la distance de M à l'axe vertical. Il est donc positif ou nul. L'angle azimutal θ repère, dans le plan horizontal, la direction du projeté de M à partir du premier axe ; lorsque r = 0, cette direction n'est pas définie et θ est indéterminé. La hauteur algébrique h mesure la position de M le long de l'axe vertical ; elle peut être positive, nulle ou négative.
Si les coordonnées cartésiennes du point sont notées x, y et z, le passage des coordonnées cylindriques aux coordonnées cartésiennes s'écrit : . Réciproquement, le rayon vaut , tandis que l'angle doit être choisi dans le bon quadrant à partir de x et y.
Pour r > 0, tous les points ayant les mêmes valeurs de r et h forment un cercle horizontal. Pour r = 0, cet ensemble se réduit au point de l'axe situé à la hauteur h. Tous les points ayant un même rayon r > 0 appartiennent à la surface d'un cylindre de révolution autour de l'axe vertical ; ceux de rayon nul appartiennent à l'axe lui-même. Cette description convient donc particulièrement aux objets et aux équations qui possèdent une symétrie autour de cet axe.
A step-by-step example
On considère le point M de coordonnées cartésiennes x = −3, y = 3√3 et z = 4. L'unité est la même sur les trois axes. On cherche son triplet cylindrique (r, θ, h).
1. Le rayon est la distance à l'axe vertical : .
2. Le quotient x/r vaut −1/2 et le quotient y/r vaut √3/2. Comme x est négatif et y positif, la direction se trouve dans le deuxième quadrant. L'angle compatible est donc .
3. La hauteur reprend la troisième coordonnée cartésienne : h = z = 4. Le résultat est donc en coordonnées cylindriques.
Le contrôle inverse redonne x = 6 cos(2π/3) = −3, y = 6 sin(2π/3) = 3√3 et z = 4. Les trois coordonnées initiales sont retrouvées.
In practice
Pour décrire la surface latérale d'un cylindre circulaire droit infini d'axe vertical, on fixe simplement un rayon R > 0. En coordonnées cartésiennes, la même surface demande la relation x² + y² = R². Le système cylindrique est préférable lorsque la distance à l'axe est l'information centrale.
Pour situer un point, on mesure d'abord son éloignement horizontal à l'axe, puis sa direction autour de cet axe et enfin sa hauteur. Des coordonnées cartésiennes restent plus directes lorsque les déplacements suivent surtout trois directions perpendiculaires.
Dans un calcul présentant une symétrie axiale, l'angle θ peut ne jouer aucun rôle dans l'équation. Ce signe observable invite à employer les coordonnées cylindriques, car elles isolent immédiatement le rayon et la hauteur.
Not to be confused with
Coordonnées cartésiennes. Elles donnent trois positions signées x, y et z le long de trois axes perpendiculaires. Les coordonnées cylindriques remplacent x et y par une distance r et un angle θ. Pour M(−3, 3√3, 4), les deux écritures sont respectivement (−3, 3√3, 4) et (6, 2π/3, 4).
Coordonnées sphériques. Elles repèrent habituellement un point par une distance à l'origine et deux angles. En coordonnées cylindriques, r est seulement la distance à l'axe et h reste une hauteur. Un point situé très haut mais près de l'axe a donc un petit rayon cylindrique, malgré sa grande distance à l'origine.
Coordonnées polaires. Elles décrivent un point dans un plan avec un rayon et un angle. Les coordonnées cylindriques ajoutent la hauteur h pour passer à l'espace. Si tous les points étudiés ont h = 0, leur description cylindrique se réduit à une description polaire dans le plan horizontal.
Limits and pitfalls
Sur l'axe vertical. Lorsque r = 0, le point est sur l'axe et aucune direction horizontale ne se distingue. L'angle θ devient indéterminé. Il faut alors donner r = 0 et h, sans attribuer de signification géométrique particulière à l'angle choisi.
Un même point, plusieurs angles. Ajouter un tour complet à θ ne change pas le point : θ et θ + 2π décrivent la même direction. Pour obtenir une écriture unique hors de l'axe, il faut annoncer un intervalle de référence, par exemple 0 ≤ θ < 2π.
Mauvais quadrant. La seule valeur du quotient y/x ne suffit pas à retrouver l'angle, car elle ne distingue pas deux directions opposées. Il faut examiner les signes de x et y, ou employer une fonction d'angle qui tient compte des deux coordonnées.
Rayon signé. Dans la convention usuelle, r est une distance et vérifie r ≥ 0. Autoriser un rayon négatif sans annoncer une autre convention crée des doublons supplémentaires. Il faut conserver r positif ou nul et reporter la direction dans θ.
Further reading
Cartésiennes (coordonnées) présente le repérage par trois axes et éclaire les formules de conversion utilisées dans cette fiche.
coordonnées sphériques montre une autre manière de repérer l'espace, fondée sur une distance à l'origine et deux directions angulaires.
L'intérêt des coordonnées polaires approfondit le couple rayon-angle qui constitue la partie horizontale des coordonnées cylindriques.
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