polar coordinates
Système de repérage d'un point M dans le plan orienté, fondé sur un pôle O et un axe polaire défini par un vecteur unitaire u. Le point M est caractérisé par le couple (r, θ), où r = OM désigne la distance du point au pôle, et θ est la mesure algébrique de l'angle orienté entre le vecteur u et le vecteur OM. La coordonnée r est appelée rayon polaire et θ est appelée anomalie ou angle polaire. Les relations avec les coordonnées cartésiennes s'écrivent x = r cos θ et y = r sin θ.
Contents
What you will learn
- Identifier le rôle du pôle, de l'axe polaire, du rayon et de l'angle.
- Convertir le couple (4, 60°) en coordonnées cartésiennes et contrôler le résultat.
- Distinguer repérage polaire et repérage cartésien sur un même point.
- Traiter le pôle, les angles séparés par un tour complet et les erreurs de quadrant.
In plain terms
Imaginez un point sur une feuille et un point de départ nommé pôle. Pour atteindre le point visé, avancez d'une certaine distance dans une direction donnée. Les coordonnées polaires enregistrent précisément ces deux informations : la distance au pôle et l'angle qui indique la direction.
Ainsi, le couple (4, 60°) place un point à 4 unités du pôle, dans une direction tournée de 60° depuis l'axe choisi. Changer le pôle ou l'axe change les coordonnées, même si le point ne bouge pas.
Definition
Dans un plan orienté, un repère polaire est fixé par un point appelé pôle O et par un axe polaire. Cet axe part de O dans la direction d'un vecteur unitaire noté u. Pour un point M, sa première coordonnée, notée r, est la distance OM. Elle est appelée rayon polaire et elle est positive ou nulle.
Lorsque M est distinct de O, la seconde coordonnée, notée θ, est une mesure algébrique de l'angle orienté entre le vecteur u et le vecteur OM. Elle est appelée angle polaire, ou anomalie. Son signe dépend du sens choisi pour orienter le plan. Ajouter un tour complet à θ ne change pas le point représenté.
Lorsque l'origine du repère cartésien est O et que son axe horizontal suit u, les coordonnées cartésiennes x et y du même point se déduisent du couple polaire (r, θ) : . Ces deux projections décrivent donc le même point que la distance et la direction.
A step-by-step example
Plaçons un point M à partir de ses coordonnées polaires.
Données :
Le pôle O est l'origine.
L'axe polaire est l'axe horizontal positif.
Le rayon polaire vaut 4 unités.
L'angle polaire vaut 60°, dans le sens positif.
Données :
Le pôle O est l'origine.
L'axe polaire est l'axe horizontal positif.
Le rayon polaire vaut 4 unités.
L'angle polaire vaut 60°, dans le sens positif.
1. La coordonnée cartésienne horizontale se calcule avec le cosinus : .
2. La coordonnée cartésienne verticale se calcule avec le sinus : , soit environ 3,46 unités.
3. Le point obtenu a donc pour coordonnées cartésiennes M(2, 2√3), soit approximativement M(2, 3,46).
4. Le contrôle refait la distance au pôle : . On retrouve bien le rayon annoncé.
La construction géométrique réunit la direction de 60°, la distance 4 et les deux projections cartésiennes du point M.
In practice
Pour placer un point connu par sa distance et sa direction, on trace d'abord l'axe polaire, puis l'angle, avant de reporter le rayon. Des coordonnées cartésiennes sont souvent plus directes lorsque les distances horizontale et verticale sont déjà connues.
Pour passer au repère cartésien, on projette le rayon sur les deux axes avec le cosinus et le sinus. Cette conversion devient utile lorsque le calcul porte ensuite sur x et y ; si seules la distance et la direction interviennent, garder la forme polaire évite un détour.
Pour décrire une courbe organisée autour d'un centre, on peut faire varier le rayon selon l'angle. La forme polaire est à privilégier lorsque cette dépendance est simple ; une équation cartésienne reste préférable si la relation entre x et y l'est davantage.
Not to be confused with
Coordonnées polaires et coordonnées cartésiennes. Les premières donnent une distance et un angle ; les secondes donnent deux projections sur des axes. Le point M de l'exemple s'écrit (4, 60°) en polaires et (2, 2√3) en cartésiennes.
Angle polaire et angle non orienté. L'angle polaire est algébrique : son signe traduit le sens de rotation retenu dans le plan. Deux directions situées de part et d'autre de l'axe peuvent avoir la même ouverture non orientée, mais des angles polaires de signes opposés.
Limits and pitfalls
Au pôle. Lorsque r = 0, le point M coïncide avec O. Le vecteur OM est nul et ne fixe aucune direction : l'angle θ est alors indéterminé. Il faut identifier le point par r = 0, sans chercher un angle unique.
Après un tour complet. Pour un rayon strictement positif, un point n'a pas un unique couple polaire. Si k désigne un nombre entier, les angles θ et θ + 2kπ radians donnent la même direction. Il faut choisir un intervalle de référence lorsque l'on exige une représentation unique.
Lors du retour depuis x et y. Le quotient y/x ne suffit pas à reconnaître le quadrant, et il n'est pas défini lorsque x = 0. Il faut tenir compte des signes des deux coordonnées, ou employer un calcul d'angle qui distingue les quadrants.
Further reading
L'intérêt des coordonnées polaires montre pourquoi ce repérage simplifie certaines descriptions géométriques organisées autour d'un centre.
Cartésiennes (coordonnées) approfondit l'autre représentation du plan et aide à comparer directement les deux systèmes.
radian précise l'unité naturelle utilisée pour exprimer l'angle polaire et les tours complets.
cercle trigonométrique relie une direction angulaire aux valeurs du cosinus et du sinus utilisées dans les conversions.
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