Diophantine numbers

Placez un nombre irrationnel sur une droite, puis cherchez à l'atteindre avec des fractions. Certaines fractions s'en approchent, mais leur dénominateur doit vite grandir pour gagner en précision. Un nombre diophantien résiste ainsi aux approximations rationnelles trop efficaces : une barrière dépendant du dénominateur interdit à toute fraction de s'en approcher davantage.

Cette résistance ne signifie pas qu'aucune bonne approximation n'existe. Elle impose une limite commune à toutes les fractions, comme on le voit avec √2 et la fraction 7/5.

Soit x un nombre réel irrationnel. Dans chaque fraction testée p/q, p est un numérateur entier et q un dénominateur entier positif. On dit que x vérifie une condition diophantienne s'il existe une constante positive c et un exposant réel μ tels que, pour tous ces p et q, la minoration suivante soit satisfaite : $\mathrm{\mid }x-\frac{p}{q}\mathrm{\mid }\ge \frac{c}{q^{\mu }}|x-\backslash frac\{p\}\{q\}|\backslash geq\backslash frac\{c\}\{q^\{\backslash mu\}\}$. La constante et l'exposant peuvent dépendre de x, mais pas de la fraction testée. Le théorème de Dirichlet impose de ne pas attendre une telle condition avec μ inférieur à 2 pour un irrationnel.

L'exposant n'est pas unique. Si la minoration vaut pour μ, elle vaut aussi pour tout exposant plus grand avec la même constante, puisque q ≥ 1. L'expression « mal approximable » désigne souvent le cas plus fort μ = 2, tandis que « diophantien » peut autoriser un exposant strictement supérieur à 2.

Le théorème de Roth affirme précisément que, pour tout nombre algébrique irrationnel x et pour chaque nombre ε > 0, il existe une constante positive c_ε telle que $\mathrm{\mid }x-\frac{p}{q}\mathrm{\mid }\ge \frac{c_{\epsilon }}{q^{2+\epsilon }}|x-\backslash frac\{p\}\{q\}|\backslash geq\backslash frac\{c\_\{\backslash varepsilon\}\}\{q^\{2+\backslash varepsilon\}\}$ pour tous p et q ≥ 1. Il permet donc tout exposant strictement supérieur à 2 ; il ne fournit pas en général la minoration uniforme d'exposant exactement 2. Les nombres de Liouville échappent à toute condition de ce type avec un exposant fini.

Prenons le nombre x = √2, la fraction p/q = 7/5, la constante c = 1/4 et l'exposant μ = 2. Il faut comparer l'erreur d'approximation à la barrière c/q². Une graduation resserrée permet de visualiser l'écart sans remplacer la vérification algébrique.

1. La fraction vaut 7/5 = 1,4, tandis que √2 ≈ 1,41421356.
2. Comme 2 × 5² − 7² = 50 − 49 = 1, l'erreur exacte vaut $\mathrm{\mid }\sqrt{2}-\frac{7}{5}\mathrm{\mid }=\frac{1}{25(\sqrt{2}+\frac{7}{5})}|\backslash sqrt\{2\}-\backslash frac\{7\}\{5\}|=\backslash frac\{1\}\{25(\backslash sqrt\{2\}+\backslash frac\{7\}\{5\})\}$, soit environ 0,01421356.
3. La barrière choisie vaut c/q² = 1/(4 × 25) = 0,01.
4. On obtient bien 0,01421356 > 0,01.

Le même argument contrôle toutes les fractions. Lorsque 0 ≤ p/q ≤ 2, l'entier non nul |2q² − p²| vaut au moins 1 et √2 + p/q < 4 ; l'erreur est donc supérieure à 1/(4q²). Hors de cet intervalle, elle dépasse déjà 1/4. Ainsi √2 satisfait la condition avec c = 1/4 et μ = 2. Le contrôle 7² = 49 contre 2 × 5² = 50 permet de refaire le calcul.

Pour tester une fraction candidate p/q, on calcule son erreur puis on la compare à c/q^μ. Si quelques fractions seulement sont vérifiées, le résultat reste un constat numérique ; une preuve diophantienne doit couvrir tous les dénominateurs.

Pour un irrationnel quadratique comme √2, une identité algébrique transforme l'erreur en quotient dont le numérateur est un entier non nul. Cette voie donne une constante uniforme ; une simple valeur décimale, même très longue, ne le peut pas.

Pour un nombre algébrique irrationnel général, le théorème de Roth écarte le comportement de Liouville avec tout exposant 2 + ε. Il faut employer cet énoncé plutôt que revendiquer automatiquement l'exposant exact 2.

Nombre diophantien et nombre mal approximable. Selon la convention large, le premier admet un exposant fini μ, tandis que le second satisfait la minoration plus forte avec μ = 2. Une preuve obtenue seulement avec μ = 3 ne suffit donc pas à établir que le nombre est mal approximable.

Irrationnel et diophantien. Ne pouvoir s'écrire comme une fraction ne garantit aucune barrière de puissance. Un nombre de Liouville est irrationnel, mais il possède des approximations rationnelles trop précises pour être diophantien au sens d'un exposant fini.

Nombre diophantien et équation diophantienne. Le nombre est classé par la qualité de ses approximations rationnelles. Une équation diophantienne demande au contraire des solutions entières ; la présence d'entiers dans les deux définitions ne rend pas les objets identiques.

L'exposant 2 est un seuil délicat. Roth garantit 2 + ε pour chaque ε > 0, avec une constante qui dépend de ε. Remplacer cette famille d'énoncés par μ = 2 renforce la conclusion et n'est pas justifié en général.

Un exposant admissible n'est pas unique. Une minoration valable avec μ = 2 reste valable avec μ = 3. Il faut donc annoncer si l'on donne un exposant possible, le meilleur seuil connu ou un minimum effectivement atteint.

Un calcul fini ne prouve pas une propriété universelle. Tester les dénominateurs jusqu'à 1 000 peut révéler une fraction gênante, jamais certifier la condition pour tous les q. Il faut une estimation générale, comme l'identité utilisée pour √2.

Un rationnel échoue immédiatement. Si x = a/b, le choix p = a et q = b donne une erreur nulle, impossible à minorer par c/b^μ avec c > 0. La condition concerne donc des réels irrationnels.

Le glossaire nombre de Liouville décrit l'opposition décisive : des approximations rationnelles plus fines que toute puissance fixée du dénominateur.

La fiche Fraction continue présente l'outil qui organise les meilleures approximations rationnelles et éclaire le cas des nombres mal approximables.