Dürer's polyhedron

Imaginez que l’on fasse tourner le solide visible dans Melancholia pour examiner chacune de ses faces. On en compterait huit : six pentagones irréguliers et deux triangles équilatéraux. Chaque pentagone peut être partagé en deux moitiés en miroir par un axe. Les faces sont aussi organisées par couples parallèles. Ces trois indices — huit faces, deux familles de formes et des couples parallèles — donnent une première carte d’identité du polyèdre de Dürer.

Le polyèdre de Dürer est l’objet géométrique représenté dans la gravure Melancholia. Il est aussi nommé solide de Dürer ou rhomboèdre tronqué. Sa description repose sur la nature et l’organisation de ses faces : il en possède huit, réparties en six pentagones irréguliers et deux triangles équilatéraux.

Les huit faces sont disposées deux à deux de manière parallèle. Chacun des six pentagones est irrégulier, donc il n’est pas décrit comme un pentagone régulier, mais il possède un axe de symétrie. Les deux autres faces sont équilatérales : chacun de leurs trois côtés a la même longueur. Le nombre de faces et leur type appartiennent à la définition donnée ; l’orientation choisie pour dessiner le solide ne les modifie pas.

Le nom « rhomboèdre tronqué » fournit une autre manière de désigner ce solide. Il ne suffit cependant pas, à lui seul, à fixer des longueurs ou des angles : la description disponible caractérise les formes des faces, leurs symétries et leur parallélisme, sans donner de mesures.

La structure se lit en quatre éléments liés. Les huit faces forment l’ensemble à inventorier. Six sont des pentagones irréguliers ; leur irrégularité n’empêche pas chacun de posséder un axe de symétrie. Les deux autres sont des triangles équilatéraux. Enfin, le parallélisme par couples organise les huit faces deux à deux. Le schéma d’inventaire rend visibles ces quantités et ces types sans prétendre reproduire les proportions de la gravure.

La forme des faces et leur organisation sont dépendantes : compter huit faces ne suffit pas si la répartition six-plus-deux n’est pas retrouvée, et reconnaître les deux familles ne suffit pas sans vérifier les couples parallèles. En revanche, la taille du dessin, sa couleur et son orientation ne font pas partie de cette description géométrique. Ces données suffisent à établir une fiche d’identification, mais pas à calculer des longueurs ou des angles absents de la source.

On veut identifier un polyèdre candidat à partir d’un relevé de ses faces, nommées A à H.
Observations : A à F ont cinq côtés et ne sont pas régulières ; pour chacune, un pli suivant une droite superpose ses deux moitiés. G et H ont trois côtés de même longueur. Les comparaisons de direction donnent quatre couples de faces parallèles : A–D, B–E, C–F et G–H.

1. Classer A à F comme six pentagones irréguliers.
2. Interpréter le pli qui superpose les deux moitiés comme un axe de symétrie propre à chacun de ces pentagones.
3. Classer G et H comme deux triangles équilatéraux puisque chacun possède trois côtés de même longueur.
4. Calculer le total : 6 + 2 = 8 faces.
5. Vérifier que les quatre couples A–D, B–E, C–F et G–H couvrent les huit faces sans en laisser de côté.

Le candidat satisfait donc la description du solide de Dürer : ses huit faces se répartissent en six pentagones irréguliers dotés chacun d’un axe de symétrie et deux triangles équilatéraux, tandis que les quatre couples parallèles couvrent tout l’inventaire. Une observation différente sur le nombre de côtés, le test de symétrie ou l’un des couples empêcherait cette conclusion.

Devant une reproduction de Melancholia, on peut commencer par repérer les faces visibles, puis compléter mentalement l’inventaire annoncé. Cette lecture convient si l’on cherche à relier l’objet représenté à sa description géométrique.

Pour décrire le solide sans mesure, on privilégie les propriétés vérifiables : nombre et type des faces, axes de symétrie des pentagones, puis parallélisme par couples. Si des longueurs ou des angles sont demandés, cette seule description ne suffit pas et il faut des données métriques supplémentaires.

Pour comparer un autre polyèdre au solide de Dürer, on applique la même liste de contrôle. Une différence sur le total de huit faces ou sur la répartition entre six pentagones et deux triangles suffit à écarter l’identification fondée sur la définition donnée.

Un polyèdre quelconque. Le mot polyèdre désigne une catégorie générale, tandis que le polyèdre de Dürer possède ici une description particulière. Un polyèdre à huit faces qui ne réunit pas six pentagones irréguliers et deux triangles équilatéraux reste un polyèdre, mais il ne satisfait pas cette fiche d’identité.

Un rhomboèdre non tronqué. Le terme rhomboèdre renvoie à une autre notion. Dans la source, « rhomboèdre tronqué » est un autre nom du solide de Dürer ; le cas tranche par la présence annoncée de huit faces, dont six pentagones irréguliers et deux triangles équilatéraux.

Une image ne montre pas forcément les huit faces à la fois. Le symptôme est un comptage visuel inférieur à huit sur une vue unique. Il faut alors distinguer les faces visibles de l’inventaire complet donné par la définition, sans transformer une face cachée en face absente.

Un axe local n’est pas une symétrie globale. La source attribue un axe de symétrie à chacun des six pentagones. Elle n’affirme pas que le polyèdre entier possède chacun de ces axes. Il faut donc appliquer la propriété à la face concernée, et non automatiquement au solide complet.

Le nom ne fournit pas des mesures. L’expression « rhomboèdre tronqué » ne permet pas de déduire ici une longueur, un angle ou une proportion précise. Si un calcul métrique est demandé, il faut ajouter les mesures ou les hypothèses nécessaires au lieu de les lire dans le seul nom.

Le glossaire polyèdre replace le solide de Dürer dans la famille générale des solides délimités par des faces planes.

La fiche rhomboèdre permet d’examiner la notion présente dans l’autre nom « rhomboèdre tronqué » et de mieux situer cette appellation.