Finite-time blow-up
Un phénomène d'explosion en temps fini survient pour une équation différentielle ordinaire lorsque la solution devient infinie en un temps fini T, bien qu'elle soit définie et régulière pour tout t < T. Cela se produit par exemple pour l'équation y' = y² avec y(0) = 1, dont la solution y = 1/(1-t) tend vers l'infini lorsque t tend vers 1. L'explosion traduit un comportement singulier du système modélisé et est à distinguer de la divergence à l'infini d'une solution globalement définie.
Contents
What you will learn
- Reconnaître l’échéance finie et la divergence de la norme qui caractérisent l’explosion.
- Retrouver la solution y(t) = 1/(1 − t) et contrôler qu’elle vérifie y′ = y².
- Distinguer l’explosion d’une divergence lorsque le temps tend vers l’infini et d’un artefact numérique.
In plain terms
Imaginez la quantité y(t) = 1/(1 − t). Elle vaut 1 au départ, 2 à l'instant 0,5, puis 10 à l'instant 0,9. Plus généralement, pour toute valeur M supérieure à 1, elle atteint M à l'instant 1 − 1/M, donc avant l'instant 1.
La solution existe pourtant à chaque instant strictement inférieur à 1. C'est ce contraste qui caractérise l'explosion en temps fini : la valeur n'est pas seulement très grande, elle devient sans borne à l'approche d'une échéance finie.
Definition
Considérons une équation différentielle ordinaire et une de ses solutions maximales. Le nombre T désigne l'extrémité droite, supposée finie, de l'intervalle où cette solution est définie. Il y a explosion en temps fini lorsque la norme de la solution tend vers l'infini tandis que le temps t tend vers T par valeurs inférieures. Pour une solution réelle y, cela s'écrit : .
L'exemple conducteur vérifie l'équation avec la condition initiale y(0) = 1. Sa solution maximale est sur l'intervalle des temps strictement inférieurs à 1. Ici, T = 1 et la solution tend vers plus l'infini lorsque t approche 1 par la gauche.
Dans un espace de dimension finie, pour un champ continu et localement lipschitzien par rapport à l'état, défini pour tous les temps et tous les états, une solution maximale dont l'extrémité T est finie doit sortir de tout ensemble compact. Sa norme devient alors sans borne. Si le champ n'est défini que sur un domaine ouvert, une solution peut aussi cesser d'être prolongeable en atteignant le bord du domaine sans devenir infinie.
A step-by-step example
On étudie une quantité réelle y dépendant du temps t. Les données sont l'équation et la valeur initiale y(0) = 1.
1. Pour une valeur non nulle de y, on sépare les variables : .
2. L'intégration donne , où C désigne une constante.
3. La condition y(0) = 1 impose C = −1, donc .
4. Aux temps 0,5 et 0,9, la formule donne exactement y(0,5) = 2 et y(0,9) = 10. Ces points rendent visible l'accélération de la courbe à l'approche de 1.
5. Plus généralement, pour tout nombre positif M supérieur à 1, choisir t = 1 − 1/M donne y(t) = M avant l'instant 1. Toute hauteur fixée finit donc par être dépassée.
Le graphique associe les valeurs calculées à une même échéance finie T = 1 ; la ligne verticale marque cette échéance, que la courbe approche sans l'atteindre.
Le résultat est une explosion au temps T = 1. On contrôle le calcul en dérivant la solution : , et sa valeur à t = 0 est bien 1.
In practice
Lorsqu'une formule explicite est disponible, le premier temps où son dénominateur s'annule est un candidat à examiner. Il faut vérifier que le zéro n'est pas compensé, qu'il appartient au domaine pertinent et qu'il est atteint par la branche de solution étudiée. Pour y(t) = 1/(1 − t), le temps candidat est 1, puis la limite à gauche confirme l'explosion.
Sans formule explicite, on peut établir une inégalité différentielle qui force une croissance au moins aussi rapide qu'une solution déjà connue pour exploser. Si une estimation uniforme borne au contraire la solution sur tout intervalle fini, elle oriente vers l'existence globale.
Dans un calcul numérique, des valeurs qui grossissent et des pas de temps qui diminuent signalent une explosion possible, mais ne la prouvent pas. On compare plusieurs précisions de calcul et on recherche ensuite un argument de limite ou une borne analytique.
Not to be confused with
Divergence lorsque le temps tend vers l'infini. Une solution comme y(t) = t devient sans borne, mais elle reste définie pour tout temps réel positif. Son échéance n'est pas finie : il n'y a pas explosion en temps fini.
Singularité de l'équation. Si le membre droit de l'équation cesse lui-même d'être défini, la solution peut rencontrer le bord du domaine. Le test décisif est alors la norme : atteindre ce bord à valeur finie n'est pas une explosion vers l'infini.
Instabilité numérique. Un algorithme peut produire des valeurs énormes à cause d'un pas inadapté, même si la solution exacte reste bornée. La persistance du phénomène sous raffinement du pas est un diagnostic, pas une démonstration.
Limits and pitfalls
Une grande valeur n'est pas une valeur infinie. Dans l'exemple, y(0,9) = 10 reste fini. Le critère porte sur le comportement lorsque t approche 1, pas sur le franchissement d'un seuil arbitraire.
Le sens d'approche compte. La solution initialisée en 0 est suivie jusqu'à T = 1 par les temps inférieurs à 1. Utiliser directement la formule pour t > 1 décrit une autre branche et ne prolonge pas continûment cette solution à travers l'explosion.
Un temps maximal fini ne suffit pas toujours. Sur un domaine ouvert incomplet, la solution peut atteindre le bord avec une valeur finie. Il faut examiner le domaine du champ et vérifier soit la divergence de la norme, soit la sortie de tout compact de ce domaine.
Le signe peut changer selon les données initiales. Pour la même équation y′ = y², une valeur initiale positive produit une explosion future, tandis qu'une valeur initiale négative donne une solution définie pour tout temps positif. Le cas initial y(0) = 0 reste constamment nul.
Further reading
La fiche Solution maximale précise pourquoi l'intervalle d'existence s'arrête au temps d'explosion et ce que signifie prolonger une solution.
L'article Ma première équation différentielle fournit un point d'entrée pour relier une loi d'évolution à ses solutions.
La fiche singularité élargit le vocabulaire des comportements où une expression ou un modèle cesse d'être régulier.
Explore mathematics differently
Discover our magazines, podcasts and games to explore mathematics differently.
See our offers