Four circles theorem
Le théorème des quatre cercles, ou théorème de Descartes, est une relation entre les courbures de quatre cercles mutuellement tangents. Si k1, k2, k3, k4 sont les courbures (inverses des rayons) de quatre cercles deux à deux tangents, alors la relation de Descartes affirme que (k1 + k2 + k3 + k4) au carré = 2 fois (k1 au carré + k2 au carré + k3 au carré + k4 au carré). Cette formule est utilisée dans la construction des empilements de cercles d'Apollonius.
Contents
What you will learn
- Relier rayon et courbure sans ambiguïté.
- Appliquer l'identité de Descartes à quatre cercles deux à deux tangents.
- Calculer et contrôler le rayon du petit cercle tangent à trois cercles unité.
- Interpréter la seconde racine avec la convention de courbure signée.
In plain terms
Imaginez trois pièces rondes qui se touchent deux à deux. Il reste entre elles un petit espace courbe, où un quatrième cercle peut venir toucher les trois premiers. Le théorème des quatre cercles donne directement la taille de ce cercle manquant.
Il ne travaille pas avec les rayons, mais avec leurs inverses, appelés courbures. Ainsi, plus un cercle est petit, plus sa courbure est grande. Cette inversion transforme les quatre tangences en une seule égalité.
Definition
Le théorème des quatre cercles, aussi appelé théorème de Descartes, relie les tailles de quatre cercles deux à deux tangents. Pour un cercle de rayon r, sa courbure k est l'inverse de son rayon : . Si les quatre cercles sont extérieurs les uns aux autres, leurs courbures sont positives.
En notant k1, k2, k3 et k4 les quatre courbures, leur relation est :
Trois courbures connues conduisent en général à deux valeurs possibles pour la quatrième. Elles correspondent aux deux cercles tangents aux trois cercles donnés. Si l'un de ces cercles entoure les autres, on emploie une courbure signée négative pour le cercle enveloppant ; la valeur absolue reste l'inverse de son rayon. Cette convention conserve la même relation de Descartes.
The principle
Si quatre cercles sont deux à deux tangents et si leurs courbures signées sont k1, k2, k3 et k4, alors :
Lorsque les trois premières courbures sont connues, les deux solutions pour la quatrième sont : . Le rayon cherché est ensuite l'inverse de la valeur absolue de k4.
When to use it
La relation s'applique à quatre cercles d'un même plan dont chaque paire est tangente. Une tangence signifie ici un unique point de contact : deux cercles ne doivent ni se couper en deux points ni rester séparés. Les rayons doivent être non nuls afin que leurs inverses existent.
Les courbures ordinaires, toutes positives, suffisent quand les quatre disques sont extérieurs les uns aux autres. Si un cercle contient les trois autres et leur est tangent intérieurement, sa courbure doit être prise négative.
Contre-cas : si trois cercles ont bien des rayons connus mais ne sont pas tangents deux à deux, la formule peut produire un nombre sans décrire leur configuration. Il faut alors utiliser les positions des centres et les distances entre eux.
A step-by-step example
Trois cercles de rayon 1 sont tangents deux à deux. On cherche le rayon du petit cercle logé dans l'espace central et tangent aux trois. Les données sont r1 = r2 = r3 = 1, donc k1 = k2 = k3 = 1.
1. Remplaçons les trois courbures connues dans la formule donnant la quatrième.
2. Le calcul devient .
3. La courbure du petit cercle vaut donc exactement 3 + 2√3, soit environ 6,464.
4. Son rayon est , soit environ 0,1547.
2. Le calcul devient .
3. La courbure du petit cercle vaut donc exactement 3 + 2√3, soit environ 6,464.
4. Son rayon est , soit environ 0,1547.
La figure représente ces quatre cercles à la même échelle et rend visible la petitesse du rayon obtenu. Pour contrôler le calcul, on remplace les courbures par 1, 1, 1 et 3 + 2√3 dans l'égalité de Descartes : les deux membres valent exactement 48 + 24√3.
In practice
Dans un empilement de cercles d'Apollonius, la formule fournit la courbure du cercle à placer dans chaque intervalle curviligne. On répète le calcul avec trois cercles déjà tangents pour poursuivre la construction.
Pour retrouver un rayon manquant, on convertit d'abord les trois rayons connus en courbures, puis on choisit la racine correspondant au cercle intérieur ou enveloppant. Le signe de la courbure distingue ces deux configurations.
Si les cercles se coupent ou ne se touchent pas tous, le théorème de Descartes n'est pas le bon outil. Des coordonnées de centres et des équations de distance deviennent alors nécessaires.
Not to be confused with
Le théorème de Descartes ne doit pas être confondu avec les théorèmes de Reim ou de Miquel. Le critère est observable : Descartes part de quatre cercles tangents et relie leurs courbures, tandis que Reim et Miquel portent sur des intersections et des points cocycliques. Une figure où des cercles se coupent en deux points ne relève donc pas de la relation donnée ici.
Un cercle d'Apollonius n'est pas un empilement de cercles d'Apollonius. Le premier est une notion distincte ; dans l'empilement cité ici, le signe décisif est la répétition de cercles mutuellement tangents dont les courbures satisfont la relation de Descartes.
Limits and pitfalls
Une courbure négative ne signifie pas qu'un rayon physique est négatif. Elle signale le cercle qui enveloppe les trois autres. Pour obtenir son rayon, il faut prendre l'inverse de la valeur absolue de la courbure.
Avec trois cercles de rayon 1, le signe plus donne le petit cercle central de courbure 3 + 2√3. Le signe moins donne l'autre solution, de courbure 3 − 2√3, qui est négative. Oublier cette seconde racine ferait perdre le cercle enveloppant.
La formule relie les tailles, mais ne fournit pas à elle seule les coordonnées du centre du cercle cherché. Pour le tracer dans une figure quelconque, il faut ajouter les conditions de distance entre centres.
Enfin, une tangence approchée sur un dessin ne prouve pas les hypothèses. Les distances entre centres doivent correspondre, à la précision disponible, à la somme des rayons pour une tangence extérieure ou à leur différence pour une tangence intérieure.
Further reading
La relation de Descartes peut être réappliquée dans chaque espace laissé par trois cercles tangents. Cette itération engendre des empilements de cercles d'Apollonius, où des cercles de plus en plus petits remplissent les interstices sans modifier la règle locale de calcul.
La présence de deux racines est elle aussi structurante : pour trois cercles fixés, elle encode les deux cercles possibles qui leur sont tangents. Passer des rayons aux courbures signées réunit ainsi la solution intérieure et la solution enveloppante dans une même identité.
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