Gelfond–Schneider theorem

Prenons 2 et élevons-le à la puissance √2. Le nombre 2 est algébrique, car il est solution d'une équation polynomiale à coefficients entiers. √2 l'est aussi, bien qu'il ne soit pas rationnel. Le théorème de Gelfond-Schneider affirme que le résultat 2^√2 franchit une frontière : il est transcendant, donc il n'est solution d'aucune équation polynomiale non nulle à coefficients entiers.

L'intérêt du théorème est de certifier cette transcendance à partir de la base et de l'exposant, sans avoir à tester une infinité de polynômes.

Le théorème de Gelfond-Schneider est un critère de transcendance pour une puissance. Un nombre est algébrique s'il annule un polynôme non nul à coefficients entiers. Un nombre transcendant n'est algébrique pour aucun tel polynôme.

On note α la base et β l'exposant. La base α doit être algébrique et distincte de 0 et de 1. L'exposant β doit être algébrique sans être rationnel. Sous ces hypothèses, toute valeur de la puissance ${\alpha }^{\beta }\backslash alpha^\backslash beta$ est transcendante. Pour une base α réelle strictement positive et un exposant β réel, il s'agit de la puissance réelle usuelle. Pour une base complexe, plusieurs valeurs peuvent exister ; la conclusion porte sur chacune d'elles.

Démontré indépendamment par Gelfond et Schneider en 1934, le résultat résout le septième problème de Hilbert. Il établit notamment la transcendance de 2^√2. Il donne aussi celle de e^π en considérant e^π comme une valeur de la puissance complexe (-1)^-i.

Soit α un nombre algébrique différent de 0 et de 1. Soit β un nombre algébrique qui n'est pas rationnel. Si ces deux hypothèses sont satisfaites, alors toute valeur de ${\alpha }^{\beta }\backslash alpha^\backslash beta$ est transcendante.

L'énoncé est une implication : il suffit de vérifier la nature algébrique des deux nombres, les exclusions sur la base et le caractère non rationnel de l'exposant. Le théorème fournit alors le statut du résultat, pas sa valeur décimale.

Le théorème s'applique à une puissance dont la base et l'exposant sont tous deux algébriques. La base doit être différente de 0 et de 1. L'exposant doit être non rationnel ; il ne suffit pas qu'il soit seulement non entier. Une fois ces conditions vérifiées, le résultat obtenu est transcendant.

Un contre-cas montre le rôle de l'exposant : avec la base 4 et l'exposant rationnel 1/2, la puissance vaut 2, qui est algébrique. Le théorème ne s'applique donc pas. De même, la base 1 est exclue, car 1 élevé à n'importe quelle puissance définie reste 1.

Si une hypothèse manque, il faut employer un autre résultat ou étudier directement le nombre obtenu. L'échec du critère ne prouve jamais, à lui seul, que ce nombre est algébrique.

Étudions 2^√2. La base est le nombre 2 et l'exposant est le nombre √2. Le schéma associé rend visible l'enchaînement des deux vérifications et de la conclusion.

Données : la base 2 est racine du polynôme x − 2 ; l'exposant √2 est racine du polynôme x² − 2 ; √2 n'est pas rationnel.

1. La base 2 est algébrique, différente de 0 et de 1.
2. L'exposant √2 est algébrique et non rationnel.
3. Toutes les hypothèses de Gelfond-Schneider sont donc réunies.
4. Le théorème donne la conclusion exacte : 2^√2 est transcendant.

Le contrôle est refaisable sans approximation : les deux équations polynomiales certifient le caractère algébrique, tandis que l'irrationalité de √2 fournit la condition décisive sur l'exposant. Une valeur décimale de 2^√2 ne suffirait pas à établir sa transcendance.

Pour certifier qu'une puissance est transcendante, on commence par chercher une équation polynomiale pour la base et pour l'exposant. On vérifie ensuite que la base n'est ni 0 ni 1 et que l'exposant n'est pas rationnel.

Pour 2^√2, ces contrôles sont immédiats et le théorème convient mieux qu'une étude décimale, qui ne peut pas révéler à elle seule la transcendance.

Pour e^π, le geste est différent : on le reconnaît comme une valeur de (-1)^-i. La base -1 est algébrique et admissible ; l'exposant -i est algébrique et non rationnel. Le même théorème conclut alors.

Nombre irrationnel et nombre transcendant. √2 est irrationnel, mais il reste algébrique puisqu'il annule x² − 2. En revanche, 2^√2 est transcendant. Le critère qui tranche est l'existence ou non d'un polynôme non nul à coefficients entiers dont le nombre est racine.

Transcendance de l'exposant et transcendance de la puissance. Dans Gelfond-Schneider, l'exposant doit être algébrique et non rationnel, non transcendant. L'exemple √2 vérifie exactement cette condition ; c'est le résultat 2^√2 qui devient transcendant.

Exposant rationnel. Si β est rationnel, le critère s'arrête. Avec 4^1/2 = 2, la puissance est même algébrique. Il faut examiner le résultat autrement, sans inverser l'implication du théorème.

Bases exclues. Les valeurs 0 et 1 sont des seuils explicites de l'énoncé. La base 1 donne 1 lorsqu'une puissance est définie ; elle ne peut donc pas produire la conclusion annoncée. La base 0 soulève en outre des problèmes de définition selon l'exposant.

Puissances complexes. Lorsque la base n'est pas un réel strictement positif, l'écriture α^β peut avoir plusieurs valeurs. Il faut préciser la valeur considérée. Gelfond-Schneider affirme que chacune des valeurs définies sous ses hypothèses est transcendante.

Critère suffisant, pas réciproque. Si les hypothèses ne sont pas réunies, aucune conclusion automatique ne suit. Il faut choisir un autre théorème ou une étude spécifique au nombre, plutôt que déclarer la puissance algébrique.

nombre transcendant — Préciser la frontière entre nombres algébriques et transcendants, qui constitue la conclusion du théorème.

En route vers la transcendance — Situer Gelfond-Schneider dans l'étude plus large des nombres transcendants.

Hilbert, les vingt-trois problèmes et la physique — Replacer le septième problème dans le programme de Hilbert.

identité d'Euler — Comparer une autre relation entre exponentielle et π sans la confondre avec la preuve de transcendance de e^π.