Irrational numbers

Tracez un carré dont chaque côté mesure 1. Sa diagonale mesure √2, soit environ 1,41421356. On peut écrire des décimales toujours plus précises, mais aucune fraction d'entiers ne donne exactement cette longueur.

C'est ce qui fait de √2 un nombre irrationnel. Son écriture décimale ne s'arrête jamais et ne finit pas par répéter périodiquement le même motif. Pi et e appartiennent aussi à cette famille.

Un nombre irrationnel est un nombre réel qui n'est égal à aucune fraction d'entiers. En désignant les entiers par p et q, avec q non nul, il n'existe donc aucune écriture $x=\frac{p}{q}x=\backslash frac\{p\}\{q\}$ pour un réel irrationnel x. En base dix, cela équivaut à une écriture décimale infinie qui n'est périodique à partir d'aucun rang.

√2 est irrationnel et algébrique, car il est racine du polynôme à coefficients entiers x² − 2. Pi et e sont, eux, transcendants : ils ne sont racines d'aucun polynôme non nul à coefficients entiers. Le logarithme en base 2 de 3 fournit aussi un exemple d'irrationnel.

Entre deux nombres réels distincts, il existe toujours un irrationnel : les irrationnels sont denses dans ℝ. Ils sont en outre non dénombrables. Cela ne signifie pas que les rationnels sont rares sur la droite réelle : eux aussi sont denses, bien qu'ils soient dénombrables.

Montrons que la diagonale du carré unité, de longueur √2, ne peut être une fraction. Données : p et q sont des entiers positifs ; q est non nul ; la fraction p/q est supposée irréductible.

1. Supposons, pour obtenir une contradiction, que $\sqrt{2}=\frac{p}{q}\backslash sqrt\{2\}=\backslash frac\{p\}\{q\}$. En élevant au carré puis en multipliant par q², on obtient : $p^2=2q^{2}p^2=2q^2$.

2. Le carré p² est pair, donc p est pair. Il existe alors un entier k tel que p = 2k. En remplaçant p, l'égalité devient 4k² = 2q², puis q² = 2k². Ainsi, q est pair lui aussi.

3. Les entiers p et q ont donc 2 comme diviseur commun, contrairement à l'hypothèse que p/q était irréductible. La supposition de départ est impossible : √2 est irrationnel.

Contrôle : l'argument ne dépend pas d'une approximation décimale. Il exclut toute fraction d'entiers, ce qui répond exactement à la définition.

En géométrie, une longueur peut être irrationnelle même si les données de départ sont entières. Pour un carré de côté 1, le théorème de Pythagore donne √2 pour la diagonale. Une valeur comme 1,414 convient à un tracé approché, mais √2 doit être conservé lorsque le résultat exact est demandé.

Dans un calcul, une écriture symbolique telle que √2 ou π évite d'accumuler les erreurs d'arrondi. On ne passe à une décimale que lorsque le contexte fixe une précision, par exemple un affichage au millième.

Pour décider si un nombre est irrationnel, une longue suite de décimales ne suffit pas. Il faut une preuve qui exclut toutes les fractions, comme la contradiction fondée sur la parité pour √2.

Nombre rationnel. Il admet une écriture p/q avec p et q entiers et q non nul. Ainsi, 1,414 = 707/500 est rationnel, tandis que √2 est irrationnel, même si ces deux nombres sont proches.

Nombre transcendant. Tout nombre transcendant est irrationnel, mais la réciproque est fausse. √2 est irrationnel et algébrique, car il annule x² − 2 ; π et e sont transcendants.

Une décimale finie n'est jamais irrationnelle. Elle se transforme en fraction dont le dénominateur est une puissance de 10. Par exemple, 1,414 = 1414/1000 = 707/500.

Des décimales affichées ne prouvent rien à elles seules. La calculatrice tronque ou arrondit √2. Le nombre affiché est rationnel ; il ne fait qu'approcher le nombre exact irrationnel. Il faut conserver le symbole ou fournir une preuve.

« Infini » ne suffit pas. Une écriture décimale infinie périodique, comme 0,333…, représente un rationnel. Pour caractériser un irrationnel, l'écriture doit être infinie et non périodique à partir de tout rang.

Les opérations ne préservent pas toujours l'irrationalité. La somme de deux irrationnels peut être rationnelle : √2 + (−√2) = 0. Il faut étudier l'expression obtenue, pas seulement la nature de ses termes.

La distinction entre irrationnel, algébrique et transcendant permet de situer plus finement un nombre réel. Les trois lectures suivantes prolongent cette hiérarchie sans confondre ces catégories.

Rationnels — Pour examiner l'autre classe de réels et reconnaître les écritures fractionnaires ou décimales périodiques.

nombre transcendant — Pour approfondir la différence entre un irrationnel algébrique comme √2 et des nombres tels que π ou e.

Les premiers irrationnels — Pour replacer l'apparition de ces nombres dans le cheminement historique des mathématiques.