icosihemidodecahedron

Imaginez un solide dont on peut compter les éléments comme sur un modèle en papier : il totalise 26 faces, reliées par 60 arêtes et organisées autour de 30 sommets. Pour se repérer, le schéma montre 20 triangles équilatéraux et 6 décagones.

Le mot « étoilé » signale une forme qui se prolonge vers l’extérieur au lieu de ressembler à un polyèdre convexe ordinaire. Deux formes portent ce nom : le petit modèle U49 et le grand modèle U71. Leur différence se lit dans leur configuration de sommet : {10, 3/2, 10, 3} pour U49 et {10/3, 3/2, 10/3, 3} pour U71.

Un icosihémidodécaèdre est un polyèdre étoilé semi-régulier de la famille des polyèdres uniformes. Dans cette description, « polyèdre étoilé » indique la forme générale, tandis que « semi-régulier » renvoie à l’organisation régulière de ses faces et de ses sommets.

La structure comporte 30 sommets, 60 arêtes et 26 faces. Le schéma illustre ce total par 20 triangles équilatéraux et 6 décagones, c’est-à-dire des polygones à dix côtés : 20 + 6 = 26. Ce repère de comptage décrit les éléments ordinaires dessinés ; pour les variantes, la configuration de sommet prend aussi en compte les faces étoilées.

Il existe deux variantes. Le petit icosihémidodécaèdre est classifié U49, et le grand icosihémidodécaèdre est classifié U71. Leurs nombres de sommets, d’arêtes et de faces sont identiques : 30 sommets, 60 arêtes et 26 faces ; leur différence porte sur la configuration de sommet : dans la notation usuelle, U49 a {10, 3/2, 10, 3}, tandis que U71 a {10/3, 3/2, 10/3, 3}.

Pour lire le schéma d’inventaire ordinaire, on sépare les deux familles de polygones qui y sont dessinées : 20 triangles équilatéraux et 6 décagones ordinaires.

On additionne d’abord les triangles du schéma : 20 faces. On ajoute ensuite les décagones ordinaires : 20 + 6 = 26 éléments représentés. Ce calcul contrôle le schéma, tandis que la configuration complète est nécessaire pour vérifier une variante particulière.

Pour prolonger le contrôle, choisissez un sommet du modèle et suivez les faces qui se succèdent autour de lui. Notez la configuration dans l’ordre rencontré : chaque entier indique le nombre de côtés d’une face ordinaire ; les fractions 3/2 et 10/3 appartiennent à la notation spécialisée des configurations et ne désignent pas automatiquement des polygones étoilés distincts. Si vous relevez {10, 3/2, 10, 3}, le modèle est U49 ; si vous relevez {10/3, 3/2, 10/3, 3}, il est U71. Pour distinguer les variantes, ce relevé local complète donc le comptage illustré.

Pour reconnaître la description d’un icosihémidodécaèdre, vérifiez trois repères : 30 sommets, 60 arêtes et 26 faces. Pour identifier une variante, relevez ensuite la configuration complète autour d’un sommet, y compris ses faces étoilées.

Cette grille permet de contrôler un schéma ou un modèle sans mesurer ses longueurs. Elle confirme la famille de faces et les nombres globaux. Pour lire la configuration de sommet, choisissez un sommet central et suivez les faces dans le sens indiqué par la flèche : le repère 1 fournit le premier terme, le repère 2 le deuxième, le repère 3 le troisième et le repère 4 le quatrième. À chaque repère, notez le symbole de la face rencontrée : un entier comme 10 ou 3 indique le nombre de côtés d’une face ordinaire ; une fraction comme 3/2 ou 10/3 est recopiée comme symbole de la notation spécialisée des configurations. Ainsi, si les quatre repères donnent successivement 10, 3/2, 10 et 3, la suite obtenue est {10, 3/2, 10, 3} et le modèle est U49 ; s’ils donnent 10/3, 3/2, 10/3 et 3, il est U71. Ces fractions ne désignent pas automatiquement des polygones étoilés distincts.

Il ne faut pas confondre les deux variantes avec deux comptages globaux différents : le petit icosihémidodécaèdre est U49 et le grand est U71. Pour les distinguer, comparez la configuration relevée autour d’un sommet : U49 donne {10, 3/2, 10, 3}, tandis que U71 donne {10/3, 3/2, 10/3, 3}.

Pour éviter une lecture décalée, partez du sommet central, suivez la flèche et associez les repères 1 à 4 aux quatre termes rencontrés dans cet ordre. Le premier symbole doit donc être relevé au repère 1, puis les trois suivants aux repères 2, 3 et 4 ; comparez ensuite la suite obtenue au tableau de la partie pratique.

Un dessin qui montre seulement des triangles ne suffit pas : il manque les 6 décagones ordinaires. Pour contrôler l’identification d’une variante, il faut toutefois relever la configuration complète et le total exact de 26 faces, car elle peut inclure des faces étoilées.

Le nombre total de faces ne suffit pas à identifier la variante : U49 et U71 partagent les mêmes comptages globaux. Pour les distinguer, reportez-vous au relevé de configuration de sommet expliqué dans la partie pratique.

Enfin, « grand » et « petit » ne doivent pas être interprétés ici comme deux comptages différents. La source les emploie pour nommer les variantes U49 et U71, qui se distinguent par leur configuration de sommet : {10, 3/2, 10, 3} pour U49 et {10/3, 3/2, 10/3, 3} pour U71.

La notion s’inscrit dans l’étude des polyèdres uniformes et des polyèdres étoilés. Pour prolonger cette fiche, on peut comparer la définition générale d’un polyèdre uniforme avec la place particulière de l’icosihémidodécaèdre dans cette famille.

L’angle des faces permet aussi de revoir ce qu’est un décagone, l’un des polygones ordinaires de l’inventaire illustré, à distinguer des faces étoilées indiquées par les configurations.