If and only if
L'expression 'si et seulement si', abrégée en 'ssi' ou notée ⟺, est un connecteur logique d'équivalence. La proposition 'P si et seulement si Q' est vraie lorsque P et Q ont la même valeur de vérité : elles sont simultanément vraies ou simultanément fausses. Prouver une équivalence requiert de démontrer les deux implications : P implique Q, et Q implique P. L'équivalence est la relation d'égalité logique entre propositions, et les propositions équivalentes peuvent s'interchanger dans les démonstrations.
Contents
What you will learn
- Interpréter le symbole ⟺ et l’abréviation ssi.
- Décomposer une équivalence en deux implications.
- Démontrer l’exemple de la parité dans les deux sens.
- Repérer une réciproque non démontrée ou une étape non réversible.
In plain terms
Prenons un entier et observons deux affirmations : « cet entier est pair » et « son carré est pair ». Elles vont toujours ensemble. Avec 6, elles sont toutes deux vraies, car 6 et 36 sont pairs. Avec 5, elles sont toutes deux fausses, car 5 et 25 sont impairs.
On peut donc dire qu’un entier est pair si et seulement si son carré est pair. L’expression relie deux propositions qui ont toujours la même valeur de vérité. Elle affirme un aller et un retour, pas une seule implication.
Definition
Une proposition est une phrase mathématique à laquelle on peut attribuer la valeur vraie ou fausse. Si deux propositions sont nommées P et Q, l’énoncé « P si et seulement si Q » est une équivalence logique. Il s’abrège « P ssi Q » et se note .
Cette équivalence est vraie exactement lorsque P et Q ont la même valeur de vérité : toutes deux vraies ou toutes deux fausses. Elle réunit deux implications, dont chacune doit être justifiée : et . La seconde est appelée la réciproque de la première.
Dire que P est une condition nécessaire et suffisante pour Q exprime la même double relation. P est suffisante pour Q parce que P entraîne Q ; P est nécessaire pour Q parce que Q entraîne P. Des propositions équivalentes peuvent ainsi se remplacer dans une démonstration, à condition que l’équivalence ait bien été établie dans le domaine considéré.
A step-by-step example
Données : n est un entier ; P signifie « n est pair » ; Q signifie « n2 est pair ». Un entier pair s’écrit 2k et un entier impair 2k + 1, avec k entier. Les valeurs 6 et 5 serviront au contrôle.
1. Supposons P vraie. Il existe alors un entier k tel que n = 2k. En élevant au carré, on obtient n2 = 4k2 = 2 × (2k2). Le carré n2 est pair : P implique Q.
2. Pour le retour, supposons n impair. Il existe un entier k tel que n = 2k + 1. Alors n2 = 4k2 + 4k + 1 = 2 × (2k2 + 2k) + 1, donc n2 est impair. Par contraposée, si n2 est pair, n est pair : Q implique P.
3. Les deux sens étant démontrés, on peut conclure : .
Le contrôle donne 6 et 36, tous deux pairs, puis 5 et 25, tous deux impairs. Dans chaque cas, P et Q ont la même valeur de vérité, conformément à l’équivalence.
In practice
Dans une démonstration, le signe ⟺ convient lorsque chaque transformation est réversible. Si une étape ne fonctionne que dans un sens, le signe ⇒ est le bon choix. Relire la chaîne à rebours permet de tester cette réversibilité.
Pour établir une caractérisation, on sépare le travail en deux parties : la condition suffit-elle, puis est-elle nécessaire ? Dans l’exemple de la parité, cela revient à traiter « n pair entraîne n2 pair », puis la réciproque.
Pour vérifier une biconditionnelle entre deux propositions, une table de vérité examine les quatre couples possibles. L’équivalence est vraie sur les lignes vrai-vrai et faux-faux, et fausse sur les deux autres.
Not to be confused with
Équivalence et implication. L’énoncé « P implique Q » ne garantit pas que Q implique P. Par exemple, « n est multiple de 4 » entraîne « n est pair », mais 6 est pair sans être multiple de 4. Une équivalence exige les deux sens.
Équivalence logique et relation d’équivalence. Une équivalence logique relie des propositions et compare leurs valeurs de vérité. Une relation d’équivalence relie des éléments d’un ensemble et doit être réflexive, symétrique et transitive. Le mot « équivalence » ne désigne donc pas le même objet.
Équivalence et égalité. Le signe = compare des objets mathématiques, tandis que ⟺ relie des propositions. On écrit n = 2k pour une égalité de nombres, mais « n est pair ⟺ n2 est pair » pour une équivalence.
Limits and pitfalls
Un seul sens démontré. Prouver P ⇒ Q ne suffit pas à écrire P ⟺ Q. Le symptôme est l’absence totale d’argument partant de Q. Il faut démontrer Q ⇒ P, ou remplacer l’équivalence annoncée par une simple implication.
Une étape non réversible. De n = 2, on déduit n2 = 4, mais l’équation n2 = 4 admet aussi n = −2. Écrire ⟺ entre ces deux étapes perdrait une solution. Il faut employer ⇒ ou ajouter une hypothèse qui rende le retour valide.
Deux propositions de vérités différentes. Quand P est vraie et Q fausse, ou l’inverse, P ⟺ Q est fausse. Un seul contre-exemple de ce type réfute une équivalence prétendue universelle.
Un domaine oublié. Une équivalence peut dépendre des objets étudiés. La preuve sur la parité suppose que n est un entier ; employer « pair » pour un nombre réel quelconque n’a pas le même sens. Il faut annoncer le domaine avant la biconditionnelle.
Further reading
La fiche Condition nécessaire précise le sens de « nécessaire » et aide à distinguer cette condition d’une condition suffisante.
La fiche table de vérité montre comment vérifier systématiquement la valeur d’une biconditionnelle pour chaque couple de valeurs de vérité.
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