modus tollens
Le modus tollens est une règle d'inférence de la logique classique : si une hypothèse entraîne nécessairement une conséquence et que cette conséquence est fausse, alors l'hypothèse est fausse. Il permet ainsi de réfuter une hypothèse en vérifiant que l'une de ses conséquences nécessaires ne se réalise pas.
Contents
What you will learn
- Identifier les deux prémisses et la conclusion du modus tollens.
- Appliquer la règle à un exemple de divisibilité entièrement vérifiable.
- Distinguer le modus tollens du modus ponens, de la contraposée et de la réciproque.
- Repérer la négation de l'antécédent et les prémisses insuffisantes.
In plain terms
Prenons l'entier 15. Tout entier divisible par 4 est pair. Or 15 n'est pas pair : il ne peut donc pas être divisible par 4.
Ce raisonnement remonte d'une conséquence absente vers une condition impossible. Le modus tollens ne dit pas pourquoi 15 est impair. Il garantit seulement que la première propriété est fausse lorsque l'implication est sûre et que sa conséquence est fausse.
Definition
Le modus tollens est une règle d'inférence. Elle s'applique à deux propositions : la proposition A joue le rôle d'hypothèse et la proposition B celui de conséquence. Il faut connaître l'implication « si A, alors B » et établir que B est fausse. On peut alors conclure que A est fausse.
Avec le symbole ⇒ pour l'implication et le symbole ¬ pour la négation, la règle complète s'écrit :
La validité vient de la contraposée : l'implication de A vers B a pour contraposée l'implication de non-B vers non-A. En logique classique, les deux implications ont la même valeur de vérité.
La conclusion ne suit que si les deux prémisses sont acquises. Savoir seulement que B est fausse ne renseigne pas sur A ; connaître seulement l'implication ne dit pas si A ou B est vraie. Le modus tollens établit une conclusion logique, sans affirmer qu'un événement en cause physiquement un autre.
A step-by-step example
On cherche si l'entier 15 peut être divisible par 4. Les données sont les suivantes : tout entier divisible par 4 est pair ; 15 est impair, donc 15 n'est pas pair.
1. Notons A la proposition « 15 est divisible par 4 » et B la proposition « 15 est pair ». La règle de divisibilité fournit l'implication de A vers B.
2. Le dernier chiffre de 15 est 5. Il n'est pas divisible par 2, donc 15 n'est pas pair : la proposition B est fausse.
3. Le modus tollens donne alors : . Ainsi, 15 n'est pas divisible par 4.
Le contrôle est direct : les multiples de 4 voisins sont 12 et 16 ; aucun n'est égal à 15. Le schéma associé permet de suivre séparément l'implication, la négation de la conséquence et la conclusion.
In practice
Dans une démonstration, on utilise le modus tollens lorsqu'une hypothèse aurait une conséquence nécessaire que l'on sait impossible. Si la conséquence est seulement difficile à vérifier, une preuve directe ou un autre intermédiaire est préférable.
Pour tester une propriété arithmétique, on cherche une conséquence obligatoire plus simple à réfuter. Dans l'exemple de 15, la parité tranche immédiatement ; une division par 4 reste une alternative lorsque la parité ne suffit pas.
Dans l'analyse d'un argument, on repère une phrase de la forme « si A, alors B », puis une affirmation établissant non-B. Si l'argument conclut autre chose que non-A, le modus tollens ne le justifie pas.
Not to be confused with
Le modus ponens part de « si A, alors B » et de A pour conclure B. Le critère est la seconde prémisse : A conduit à B, tandis que non-B conduit à non-A dans le modus tollens.
La contraposée est une nouvelle implication, « si non-B, alors non-A », logiquement équivalente à « si A, alors B » en logique classique. Le modus tollens est l'inférence qui applique cette relation à une prémisse non-B effectivement établie.
La réciproque de « si A, alors B » est « si B, alors A ». Elle n'est pas garantie : être pair ne suffit pas pour être divisible par 4, puisque 6 est pair sans être divisible par 4.
Limits and pitfalls
Nier l'hypothèse ne suffit pas. De « si A, alors B » et non-A, on ne peut pas conclure non-B. Un entier non divisible par 4 peut être pair : 6 en fournit un contre-exemple. Il faut chercher une autre prémisse.
La conséquence doit être réellement fausse. Une absence de preuve de B n'est pas une preuve de non-B. Si la parité de l'entier n'est pas connue, le raisonnement s'arrête jusqu'à ce qu'elle soit établie.
L'implication ne peut pas être approximative. Une règle assortie d'exceptions ne fournit pas la prémisse « si A, alors B » sans condition supplémentaire. Il faut préciser ces conditions ou examiner directement le cas exceptionnel.
Une implication logique n'est pas forcément une cause. Le modus tollens conserve la vérité d'un raisonnement ; il n'établit ni mécanisme physique ni chronologie. Une affirmation causale demande des éléments propres au domaine étudié.
Further reading
La fiche sur la contraposée précise l'équivalence entre une implication et sa forme renversée et niée.
Le modus ponens présente l'autre règle d'inférence fondamentale construite à partir d'une implication.
Le raisonnement par l'absurde montre comment une contradiction peut réfuter une hypothèse dans une démonstration plus longue.
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