modus ponens

Prenons un entier : tout nombre divisible par 4 est pair. Or 12 est divisible par 4. On peut donc affirmer que 12 est pair. Le modus ponens est le passage logique qui autorise cette conclusion.

Le raisonnement repose sur deux informations : une règle de la forme « si ceci, alors cela », puis la confirmation de « ceci ». Lorsque ces deux prémisses sont établies, « cela » suit nécessairement.

Le modus ponens est une règle d’inférence de la logique classique. Elle s’applique à deux propositions, notées A et B. La première prémisse affirme que A implique B ; la seconde affirme A. La règle autorise alors à déduire B. Son schéma formel est $A\Rightarrow B,A⊢BA\; \backslash Rightarrow\; B,\backslash quad\; A\; \backslash ;\backslash vdash\backslash ;\; B$. Le symbole placé avant B signifie que B se déduit des prémisses, et non que les trois expressions forment une nouvelle prémisse.

La validité dépend de la forme du raisonnement : dans toute interprétation où les deux prémisses sont vraies, la conclusion est vraie. A et B peuvent être des énoncés simples ou composés, mais chaque occurrence doit conserver exactement le même sens. La règle ne demande pas que l’implication soit une relation de cause à effet. Elle exige seulement que l’implication et son antécédent A soient tous deux admis. L’expression latine complète est modus ponendo ponens, littéralement « le mode qui, en posant, pose ».

On veut établir que 12 est pair. Données. Pour tout entier, être divisible par 4 implique être pair. De plus, 12 est divisible par 4. Ces deux affirmations seront les seules prémisses du raisonnement.

1. Appelons A la proposition « 12 est divisible par 4 » et B la proposition « 12 est pair ».

2. La règle générale fournit la première prémisse : $A\Rightarrow BA\; \backslash Rightarrow\; B$.

3. L’égalité $12=4\times 312=4\backslash times3$ vérifie la seconde prémisse A.

4. Le modus ponens donne alors B : 12 est pair. La figure synthétise ce passage des deux prémisses à la conclusion.

Le contrôle est refaisable directement : $12=2\times 612=2\backslash times6$. Il confirme la conclusion sans remplacer le raisonnement qui l’a produite.

Dans une démonstration, on repère un résultat déjà établi sous la forme « si A, alors B », puis on prouve A. Le modus ponens permet d’inscrire B comme étape suivante. Si A n’est pas établi, il faut d’abord le démontrer ou choisir un autre résultat.

Pour vérifier un argument, on sépare la règle conditionnelle, l’affirmation de son antécédent et la conclusion. Si l’argument affirme seulement B pour remonter vers A, le modus ponens ne s’applique pas ; il faut chercher une implication réciproque explicitement justifiée.

Dans un système de règles, une consigne « si condition, alors action » ne déclenche logiquement l’action que lorsque la condition est reconnue vraie. Si l’information reste incertaine, un raisonnement probabiliste est plus adapté qu’une déduction certaine.

Le modus tollens. Il part de « si A, alors B » et de la négation de B pour conclure à la négation de A. Le cas « si un entier est divisible par 4, alors il est pair ; 9 n’est pas pair » relève du modus tollens, pas du modus ponens.

L’affirmation du conséquent. De « si A, alors B » et de B, conclure A est en général invalide. Savoir qu’un entier est pair ne suffit pas à déduire qu’il est divisible par 4, puisque 6 est pair sans être divisible par 4.

Antécédent non établi. Une implication vraie ne suffit pas à produire sa conclusion. Tant que A n’est pas admise ou démontrée, le symptôme est une prémisse manquante ; il faut établir A avant d’inférer B.

Glissement de sens. Si le mot ou l’énoncé représenté par A change entre les deux prémisses, la forme n’est plus celle du modus ponens. Il faut reformuler les propositions et vérifier qu’elles sont identiques à chaque occurrence.

Prémisse seulement probable. Si « A implique B » ou A n’est tenue que pour vraisemblable, B n’est pas une conclusion certaine de logique classique. Il faut alors annoncer le degré d’incertitude et employer un cadre de raisonnement adapté.

Le modus tollens complète cette première règle : il montre comment la négation de la conséquence conduit à nier l’antécédent.