Immersion
Une immersion est une application différentiable f : M -> N entre deux variétés différentiables telle que la différentielle df_p est injective en tout point p de M. Une immersion préserve donc localement la dimension : la variété M s'immerge localement comme un sous-espace de N. Une immersion n'est pas nécessairement injective globalement (une courbe peut se croiser), mais localement c'est un plongement. La notion d'immersion est fondamentale en géométrie différentielle et dans la théorie des sous-variétés.
Contents
What you will learn
- Identifier une immersion par l'injectivité de sa différentielle.
- Vérifier le critère sur une courbe paramétrée en huit.
- Distinguer immersion, plongement et submersion.
- Repérer une perte d'immersion à un point singulier.
In plain terms
Imaginez un fil souple posé sur une table en forme de huit. En suivant le fil, aucun petit morceau ne s'écrase en un point : chaque portion garde une direction. Pourtant, deux portions éloignées du fil peuvent passer au même endroit au centre du huit.
Une immersion décrit ce comportement. Au voisinage de chaque point, l'objet conserve toutes ses directions et ressemble à un morceau bien déployé dans l'espace d'arrivée. À l'échelle globale, il peut néanmoins se recouper.
Definition
Soient une variété différentielle de départ M, une variété différentielle d'arrivée N et une application différentiable f de M vers N. Au point p de M, la différentielle de f est l'application linéaire , qui envoie les vecteurs tangents à M au point p sur des vecteurs tangents à N au point f(p). L'application f est une immersion lorsque cette différentielle est injective en chaque point.
Si la dimension de M vaut m, le critère s'écrit . Il impose notamment que la dimension de M ne dépasse pas celle de N. Dans des coordonnées locales, la matrice jacobienne de f doit donc avoir m colonnes linéairement indépendantes à chaque point.
Cette condition est locale : autour de chaque point de M, la restriction de f à un voisinage assez petit est un plongement sur son image. Elle n'oblige ni deux points éloignés à avoir des images distinctes, ni l'image entière à être une sous-variété plongée sans auto-intersection.
A step-by-step example
On paramètre une courbe du plan par un réel t compris entre 0 inclus et 2π exclu. Les données sont les deux coordonnées et la période 2π. La courbe obtenue a la forme d'un huit.
1. Dérivons les deux coordonnées : .
2. Si le premier terme est nul, alors t vaut π/2 ou 3π/2 dans l'intervalle choisi.
3. Pour ces deux valeurs, le second terme vaut −2 ; les deux termes de la dérivée ne sont donc jamais nuls ensemble.
4. La différentielle, issue d'un espace tangent de dimension 1, est ainsi injective pour tout t : f est une immersion.
2. Si le premier terme est nul, alors t vaut π/2 ou 3π/2 dans l'intervalle choisi.
3. Pour ces deux valeurs, le second terme vaut −2 ; les deux termes de la dérivée ne sont donc jamais nuls ensemble.
4. La différentielle, issue d'un espace tangent de dimension 1, est ainsi injective pour tout t : f est une immersion.
Le contrôle global donne pourtant . Deux paramètres distincts atteignent le centre du huit. Le tracé rend visible ce croisement et les deux directions tangentes qui y passent.
In practice
Pour étudier une courbe paramétrée, on calcule son vecteur dérivé. S'il reste non nul, le paramétrage est une immersion et fournit localement une direction tangente. S'il s'annule, on parle plutôt de point singulier du paramétrage et il faut examiner la courbe autrement.
Pour une surface paramétrée dans l'espace, on compare les deux vecteurs dérivés associés aux paramètres. Leur indépendance garantit une immersion de dimension 2. S'ils deviennent colinéaires, le paramétrage perd une direction : son rang devient inférieur à 2 et il n'est plus régulier en ce point.
Le critère local ne suffit pas lorsqu'on veut représenter l'objet sans recouvrement. Il faut alors rechercher un plongement et contrôler aussi le comportement global de l'application sur son image.
Not to be confused with
Une immersion se distingue d'un plongement. Le plongement représente M sans identifier de points et avec la bonne topologie sur son image. La courbe en huit est une immersion, mais son croisement empêche qu'elle soit un plongement.
Une submersion demande au contraire que la différentielle soit surjective. Pour la courbe f allant d'un espace de dimension 1 vers le plan, la différentielle peut être injective, mais elle ne peut pas couvrir les deux directions du plan : f n'est pas une submersion.
Limits and pitfalls
Une auto-intersection ne fait pas perdre le statut d'immersion. Le symptôme à surveiller n'est pas la répétition d'un point dans l'image, mais la perte d'injectivité de la différentielle. Au centre du huit, les deux passages correspondent à deux voisinages distincts et chacun reste régulièrement tracé.
La courbe à cuspide définie par n'est pas immergée au paramètre 0. Sa dérivée y vaut le vecteur nul, donc une direction du domaine est écrasée. Il faut la traiter comme une courbe singulière en ce point.
Dire qu'une immersion est « localement un plongement » suppose de restreindre le domaine à un voisinage convenable de chaque point. Cette propriété ne permet pas de choisir automatiquement un unique voisinage valable pour toute la variété.
Further reading
La Différentielle précise l'application linéaire dont l'injectivité constitue le critère local d'une immersion.
La Submersion développe le critère dual de surjectivité et aide à comparer les rôles des dimensions de départ et d'arrivée.
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