Kepler est surtout connu comme astronome. Mais c'est aussi un prodigieux mathématicien. Que ce soit dans l'étude des polyèdres ou dans celle des coniques, il a été extrêmement fécond et novateur. Sans doute, un des premiers à unifier le concept de conique.
Kepler est entré au Panthéon de l'astronomie, entre autres pour avoir attribué des trajectoires elliptiques aux planètes. Ainsi, ces courbes se voient conférer une signification physique : elles ne sont plus seulement des objets abstraits, elles existent dans la nature. En août 1598, le futur empereur Ferdinand II, de la maison de Habsbourg, catholique, fait fermer l'école luthérienne de Graz où Kepler était enseignant. Ce dernier perd alors son emploi. Le Danois Tycho Brahe, nommé mathématicien impérial par Rodolphe II, arrive à Prague en juin 1599. Il propose à Kepler de devenir son assistant, ayant été impressionné par la lecture du Mysterium cosmographicum où celui-ci aborde la relation entre les distances des planètes et les cinq solides de Platon. De son côté, Kepler espère obtenir ce poste stable. Il connaît aussi les bénéfices qu'il pourra tirer des données de Brahe, les mesures les plus précises de l'époque. Les deux hommes se rencontrent en février 1600 mais leurs relations sont souvent orageuses. Tycho Brahe demande alors à Kepler de déterminer l'orbite de Mars. Kepler pense s'acquitter de cette tâche en quelques semaines ; il mettra six ans et ses conclusions changeront l'histoire de l'astronomie ! En 1601, Tycho Brahe meurt. Kepler parvient à devenir le nouveau mathématicien impérial et à obtenir les données de Tycho Brahe. Cependant, dès le début de son travail, Kepler se pose des questions sur la réfraction et l'optique. Une meilleure connaissance de ces phénomènes pourrait améliorer la précision des mesures. Il rédige l'Ad Vitellionem paralipomena, quibus astronomiae pars optica traditur (littéralement « Paralipomène à Witelo, où est enseignée la partie optique de l'astronomie »), publié en 1604, où on trouve une étude originale des coniques dans le chapitre De Coni Sectionibus (« Sur les sections d'un cône »).
Trois courbes différentes
Les Grecs, comme Apollonius de Perge, considèrent les ellipses, paraboles et hyperboles comme des courbes différentes, même si elles sont l'intersection d'un même (bi-)cône par un plan convenablement incliné. Ils les étudient séparément. Parfois, ils abordent des propriétés communes comme l'existence de foyers pour l'ellipse et l'hyperbole. Apollonius ne trouve aucun foyer pour la parabole, sa plus ancienne mention connue se trouve chez Pappus. Mais les Grecs n'étudient jamais les coniques dans leur globalité, comme un même objet mathématique. Cette situation perdure à la Renaissance après la publication par Commandino des œuvres connues d'Archimède, Apollonius et Pappus, en latin.
