Kronecker delta

Imaginez une grille dont les lignes et les colonnes portent les mêmes numéros. Dans une case, le symbole de Kronecker pose une seule question : les deux numéros coïncident-ils ? Si oui, il inscrit 1 ; sinon, il inscrit 0.

Les 1 se placent donc sur la diagonale de la grille. Cette règle minuscule suffit à sélectionner un terme dans une somme ou à écrire très brièvement la matrice identité.

Le symbole de Kronecker est une fonction de deux indices pris dans un même ensemble. On le note δ_ij, où les lettres i et j désignent ces indices. Sa valeur dépend uniquement de leur égalité :

Lorsque les indices parcourent les entiers de 1 à n, les nombres δ_ij sont les coefficients de la matrice identité de taille n. Dans une somme, δ_ij annule tous les termes dont l'indice j diffère de i et conserve le terme d'indice i.

La notation mixte δⁱ_j représente les composantes de l'application identité en calcul tensoriel. Dans une base orthonormée, le produit scalaire des vecteurs de base d'indices i et j vaut aussi δ_ij : il vaut 1 pour un vecteur avec lui-même et 0 pour deux vecteurs distincts.

Considérons trois indices, numérotés 1, 2 et 3, ainsi qu'un vecteur dont les composantes sont 4, −2 et 7. On veut vérifier l'effet de la matrice dont le coefficient de ligne i et de colonne j est δ_ij.

1. Pour les couples (1, 1), (2, 2) et (3, 3), les indices sont égaux : les trois coefficients valent 1.
2. Pour les six autres couples, les indices diffèrent : les coefficients valent 0.
3. La matrice obtenue est donc :

Une représentation de cette matrice fait ressortir les trois égalités d'indices sur la diagonale et les six couples distincts hors diagonale.

4. La première ligne conserve 4, la deuxième conserve −2 et la troisième conserve 7 :Le résultat est exactement le vecteur de départ. Le contrôle se refait composante par composante : chaque ligne contient un seul 1, à la même position que la composante conservée.

Dans un calcul matriciel, δ_ij remplace une longue description des coefficients de la matrice identité. Une matrice écrite terme par terme reste préférable lorsque ses lignes et ses colonnes sont peu nombreuses et doivent être lues directement.

Dans une somme indexée, le symbole joue le rôle d'un filtre. Si les nombres x_j sont les composantes d'un vecteur, alors ${\sum }_j{\delta }_{ij}{x}_j=x_i\backslash sum\_j\; \backslash delta\_\{ij\}x\_j=x\_i$ : tous les termes disparaissent sauf celui dont l'indice est i. Une écriture directe de x_i convient mieux si aucune manipulation d'indices ne suit.

En calcul tensoriel, δⁱ_j encode l'application identité et facilite les contractions d'indices. Cette notation devient utile lorsque plusieurs indices sont sommés ; pour un calcul élémentaire sans indices répétés, elle peut alourdir la lecture.

Le delta de Dirac. Le symbole de Kronecker compare des indices discrets et donne un nombre, 0 ou 1. Le delta de Dirac intervient sur une variable continue comme une distribution. Pour sélectionner un terme d'une somme numérotée, c'est le symbole de Kronecker qui convient.

Le produit de Kronecker. Ce produit combine deux matrices pour en construire une plus grande. Le symbole de Kronecker, lui, teste seulement l'égalité de deux indices. Une opération qui agrandit les dimensions d'une matrice relève du produit, pas du symbole.

Indices dans des ensembles différents. La comparaison suppose que i et j appartiennent à un même ensemble d'indices, ou qu'une identification entre leurs ensembles a été fixée. Sans cela, écrire i = j n'a pas de rôle défini ; il faut préciser la correspondance utilisée.

Position des indices. En calcul tensoriel général, δⁱ_j décrit l'identité, tandis que δ_ij ne peut pas être remplacé automatiquement par la même écriture. Hors d'une base orthonormée, les coefficients du produit scalaire forment une matrice qui n'est pas nécessairement l'identité. Il faut alors conserver la métrique du cadre choisi.

Somme implicite. La présence de δ_ij ne crée pas à elle seule une somme. Une contraction exige une convention de sommation annoncée ou un signe de somme explicite. Si aucun indice n'est sommé, δ_ij reste simplement égal à 0 ou à 1.

Le glossaire tenseur situe la notation mixte δⁱ_j dans le calcul tensoriel et éclaire le rôle des indices.

La fiche produit scalaire prolonge le cas des bases orthonormées, où les produits des vecteurs de base s'écrivent avec δ_ij.