Lie algebra
Une algèbre de Lie est un espace vectoriel réel de dimension finie E muni d'une application bilinéaire, appelée crochet de Lie, vérifiant deux propriétés fondamentales : l'antisymétrie, qui exprime que le crochet d'un élément avec lui-même est nul, et l'identité de Jacobi, qui impose une relation cyclique entre les crochets de trois éléments quelconques. Les algèbres de Lie sont intimement liées à la théorie des groupes de Lie et jouent un rôle central en géométrie différentielle et en physique théorique.
Contents
What you will learn
- Définir une algèbre de Lie et ses trois conditions structurelles.
- Calculer un crochet matriciel en comparant deux ordres de multiplication.
- Vérifier l’antisymétrie et un cas de l’identité de Jacobi.
- Distinguer algèbre de Lie, algèbre associative et groupe de Lie.
In plain terms
Prenez deux petites transformations représentées par des matrices. Les effectuer dans un ordre, puis dans l’ordre inverse, ne donne pas toujours le même résultat. Leur différence mesure ce défaut de commutation : c’est le modèle le plus concret d’un crochet de Lie.
Une algèbre de Lie rassemble des directions que l’on peut additionner et multiplier par des nombres, avec ce crochet pour décrire leur interaction. Échanger les deux entrées change le signe du résultat. L’identité de Jacobi garantit ensuite que trois interactions imbriquées restent compatibles.
Definition
Une algèbre de Lie réelle de dimension finie est un espace vectoriel réel E muni d’une opération appelée crochet. À deux éléments x et y de E, elle associe un élément noté . Cette opération est bilinéaire : elle est linéaire séparément en x et en y.
Le crochet est alterné, donc pour tout x. Sur les réels, cette condition équivaut à l’antisymétrie . Il vérifie aussi l’identité de Jacobi :
Ces trois conditions portent sur l’opération, non sur une multiplication associative. Dans une algèbre de matrices, le commutateur fournit un crochet de Lie. La dimension finie et le corps réel décrivent le cadre de la définition source ; la notion existe aussi dans d’autres cadres, avec des précautions liées au corps de base.
A step-by-step example
Considérons l’espace vectoriel des matrices réelles 2 × 2, muni du crochet matriciel. Les données sont les matrices A et B suivantes :
1. Multiplions dans l’ordre A puis B : .
2. Inversons l’ordre : .
3. Soustrayons les deux produits : . Le crochet est donc non nul : A et B ne commutent pas. Le schéma reprend les deux produits qui expliquent ce résultat.
4. Échangeons les entrées : . Pour contrôler Jacobi sur le triplet A, A, B, la somme vaut . Les calculs vérifient ici l’antisymétrie et l’identité cyclique.
In practice
Pour étudier des transformations proches de l’identité. Le crochet encode l’effet de l’ordre dans lequel on compose deux petites transformations. Dans le cadre matriciel local, si leurs générateurs X et Y commutent, c’est-à-dire si , leur crochet est nul.
Avec des matrices. On calcule XY et YX, puis on les soustrait. Une multiplication associative reste préférable lorsqu’on veut conserver le produit lui-même ; le crochet sert lorsque le défaut de commutation est l’information pertinente.
En géométrie différentielle et en physique théorique. Les algèbres de Lie décrivent des interactions infinitésimales liées à des symétries continues. Le groupe de Lie convient pour les transformations finies ; son algèbre de Lie convient pour leurs directions infinitésimales.
Not to be confused with
Algèbre de Lie et algèbre associative. Dans une algèbre associative, le produit vérifie . Un crochet de Lie n’est généralement pas associatif : son test caractéristique est l’identité de Jacobi. Les matrices possèdent un produit associatif, dont le commutateur produit un crochet de Lie.
Algèbre de Lie et groupe de Lie. Un groupe de Lie porte des transformations finies et une loi de groupe lisse. L’algèbre associée est un espace vectoriel qui décrit les directions au voisinage de l’élément neutre. Pour une rotation d’angle fixé, on emploie le groupe ; pour sa vitesse infinitésimale, l’algèbre.
Crochet de Lie et produit vectoriel. Le produit vectoriel de l’espace réel à trois dimensions donne bien un exemple de crochet de Lie. Mais un crochet de Lie est défini dans bien d’autres dimensions et n’est pas, en général, un produit vectoriel géométrique.
Limits and pitfalls
Crochet nul. Une algèbre de Lie peut avoir pour toutes ses paires d’éléments. Elle est alors dite abélienne : ce cas dégénéré reste une algèbre de Lie, car Jacobi devient automatiquement nulle.
Antisymétrie et alternance. Sur les nombres réels, demander revient à demander . Sur un corps de caractéristique 2, cette équivalence exige de la prudence ; il vaut mieux énoncer explicitement la condition d’alternance.
Dimension finie. La définition source se place dans un espace réel de dimension finie. Des algèbres de Lie de dimension infinie existent, mais des questions topologiques ou analytiques peuvent alors s’ajouter ; les règles de dimension finie ne se transfèrent pas sans vérification.
Passage du local au global. Une algèbre de Lie décrit l’information infinitésimale d’un groupe de Lie, mais elle ne détermine pas à elle seule toutes ses propriétés globales. Des groupes de Lie globalement différents peuvent partager la même algèbre de Lie.
Further reading
Le glossaire groupe de Lie prolonge la lecture vers les transformations continues dont l’algèbre de Lie décrit le comportement infinitésimal.
L’entrée algèbre replace cette structure dans la famille plus large des espaces munis d’opérations compatibles avec leur structure vectorielle.
Explore mathematics differently
Discover our magazines, podcasts and games to explore mathematics differently.
See our offers