Logarithmically convex
Une fonction positive f est dite logarithmiquement convexe (ou log-convexe) si son logarithme est une fonction convexe. De manière équivalente, f est log-convexe si pour tous x, y et tout t dans [0,1], on a f(tx + (1-t)y) inférieur ou égal à f(x)^t f(y)^(1-t). Toute fonction log-convexe est convexe, mais la réciproque est fausse. La fonction gamma d'Euler est log-convexe sur les réels positifs, ce qui est l'une des propriétés caractéristiques utilisées dans la formule de Bohr-Mollerup.
Contents
What you will learn
- Relier la log-convexité à la convexité du logarithme.
- Appliquer l’inégalité de moyenne géométrique pondérée.
- Vérifier le critère sur la fonction e puissance x carré.
- Distinguer log-convexité et convexité ordinaire.
- Identifier les restrictions de positivité et de domaine.
In plain terms
Imaginez deux valeurs positives d’une fonction et un point situé entre elles. La log-convexité impose que la valeur intermédiaire reste sous une moyenne multiplicative des deux valeurs de départ. Cette moyenne ressemble à une moyenne géométrique, avec des poids qui dépendent de la position du point.
Le logarithme transforme les multiplications en additions. Après cette transformation, la contrainte multiplicative devient donc la convexité ordinaire : la courbe du logarithme reste sous ses cordes.
Definition
Soit une fonction f à valeurs strictement positives, définie sur un intervalle. Elle est logarithmiquement convexe, ou log-convexe, lorsque la fonction qui associe à x le logarithme de f(x) est convexe. La positivité stricte est nécessaire pour que ce logarithme réel soit défini.
Pour deux points x et y de l’intervalle et un poids t compris entre 0 et 1, le point intermédiaire est tx + (1 − t)y. Le critère équivalent s’écrit : . Le membre de droite est la moyenne géométrique pondérée des valeurs f(x) et f(y).
Cette propriété entraîne la convexité ordinaire de f, car une moyenne géométrique pondérée de nombres positifs ne dépasse pas leur moyenne arithmétique pondérée. La réciproque est fausse. La fonction gamma d’Euler fournit un exemple majeur : elle est log-convexe sur les réels strictement positifs, propriété caractéristique dans la formule de Bohr-Mollerup.
A step-by-step example
Considérons la fonction f qui associe à tout réel x le nombre . Prenons les points x = 0 et y = 2, puis le poids t = 1/2. Le point intermédiaire vaut 1.
1. Le logarithme de f(x) vaut x2, qui est une fonction convexe sur les réels. La fonction f est donc log-convexe.
2. Aux extrémités, f(0) = 1 et f(2) = e4. Au point intermédiaire, f(1) = e.
3. La moyenne géométrique correspondant au poids 1/2 est . On vérifie bien e ≤ e2.
Le contrôle graphique porte sur le logarithme : entre 0 et 2, la courbe de x2 reste sous la corde qui joint les points (0 ; 0) et (2 ; 4). Au milieu, la courbe vaut 1 tandis que la corde vaut 2.
In practice
Pour établir la log-convexité d’une fonction positive, on peut étudier directement la convexité de son logarithme. Ce choix est préférable au critère multiplicatif lorsque le logarithme simplifie les produits ou les puissances.
Pour encadrer une valeur située entre deux points, l’inégalité log-convexe fournit une moyenne géométrique pondérée. La convexité ordinaire donne plutôt une moyenne arithmétique pondérée, généralement moins serrée pour des valeurs positives.
Pour la fonction gamma, la log-convexité intervient avec sa relation fonctionnelle dans la caractérisation de Bohr-Mollerup. Le domaine à conserver est celui des réels strictement positifs.
Not to be confused with
Fonction convexe. La log-convexité impose la convexité du logarithme et entraîne celle de la fonction positive elle-même. La converse échoue : f(x) = 1 + x2 est convexe sur les réels, mais son logarithme n’est pas convexe lorsque |x| > 1.
Convexité du graphe dans une échelle logarithmique. Le critère porte sur les valeurs de log(f), pas sur un simple effet visuel obtenu en changeant l’échelle d’un dessin. Il faut vérifier la convexité sur tout l’intervalle considéré.
Limits and pitfalls
Valeur nulle ou négative. Si f s’annule ou devient négative, son logarithme réel n’est plus défini en ce point. Le critère formulé ici ne s’applique donc pas ; il faut restreindre le domaine à une zone où f est strictement positive.
Domaine non convexe. L’expression tx + (1 − t)y doit rester dans le domaine pour tout poids t entre 0 et 1. Sur une réunion d’intervalles séparés, vérifier chaque morceau ne suffit pas à donner un critère entre deux morceaux.
Poids aux extrémités. Pour t = 0 ou t = 1, l’inégalité devient une égalité automatique. Ces deux cas charnières ne prouvent rien sur les points strictement intermédiaires.
Domaine de la fonction gamma. La propriété citée concerne les réels strictement positifs. Elle ne justifie pas d’appliquer le logarithme réel de la fonction gamma en dehors de ce domaine.
Further reading
La fiche concept de convexité approfondit la propriété additive obtenue après avoir pris le logarithme.
La fiche fonction gamma présente l’exemple classique dont la log-convexité intervient dans la formule de Bohr-Mollerup.
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