Louis Poinsot

En 1809, en France, Louis Poinsot met en évidence quatre polyèdres réguliers étoilés, aujourd’hui appelés solides de Kepler-Poinsot. Ces formes donnent une première porte d’entrée dans son œuvre : Poinsot cherche à décrire précisément des objets géométriques et des mouvements.

En mécanique, il montre qu’à chaque instant où la vitesse angulaire n’est pas nulle, le déplacement d’un solide associe une rotation autour d’un axe et une translation dans la direction de cet axe. Une translation pure ne détermine pas d’axe privilégié. Pour un solide tournant autour d’un point fixe, il propose aussi une image concrète : un cône attaché au solide roule sur un cône fixe.

Louis Poinsot (1777-1859) est un mathématicien et ingénieur français, formé à l’École polytechnique puis à l’École des Ponts et Chaussées. Il quitte la carrière d’ingénieur pour enseigner et promouvoir les sciences, encore peu présentes dans les cursus scolaires. Ses travaux concernent les équations algébriques, la statique, la géométrie et surtout la mécanique rationnelle.

Il publie en 1803 les Éléments de Statique, souvent réédités au XIX^e siècle avant que la statique soit intégrée au cadre plus général de la dynamique. En 1809, il découvre quatre polyèdres réguliers étoilés désormais nommés solides de Kepler-Poinsot. La frise rend distincts ces repères et les résultats auxquels ils correspondent.

Dans la Théorie nouvelle de la rotation des corps, publiée en 1834, Poinsot décompose le mouvement d’un solide, lorsque sa vitesse angulaire n’est pas nulle, en une rotation instantanée autour d’un axe et une translation parallèle à cet axe. Dans le cas dégénéré d’une translation pure, aucun axe n’est privilégié. Quand le solide tourne autour d’un point fixe, son mouvement peut aussi être représenté par le roulement d’un cône lié au solide sur un cône fixe : c’est le mouvement à la Poinsot. Sa dernière publication est un Traité sur la précession des équinoxes.

Considérons une vis que l’on fait tourner dans un écrou. Sur un très court intervalle, on observe deux données : l’orientation de la tête change autour de l’axe de la vis et le centre de la tête avance dans la direction de ce même axe. La vitesse angulaire n’est donc pas nulle, et l’axe est directement repérable.

1. Repérer la rotation : un trait marqué sur la tête change d’orientation autour de l’axe de la vis.

2. Repérer la translation : pendant le même mouvement, le centre de la tête avance le long de cet axe, sans déplacement latéral.

3. Conclure : le résultat attendu associe une rotation instantanée autour de l’axe de la vis et une translation parallèle à cet axe. Ce n’est pas une translation pure, puisque l’orientation change, ni un mouvement autour d’un point fixe, puisque le centre de la tête avance. La représentation par deux cônes n’est donc pas utilisée ici.

Pour contrôler l’identification, imaginons maintenant que la vis soit seulement poussée sans tourner : le trait garde son orientation, la vitesse angulaire est nulle et le mouvement devient une translation pure sans axe privilégié. À l’inverse, la représentation par deux cônes ne devient pertinente que si le solide tourne autour d’un point fixe.

Pour situer Poinsot dans l’histoire de la géométrie, on part de 1809 et des quatre polyèdres réguliers étoilés. Si la recherche porte sur la notion géométrique elle-même, l’entrée polyèdre est le meilleur complément.

Pour analyser concrètement un mouvement, on commence par deux observations : l’orientation du solide change-t-elle autour d’une direction repérable, et observe-t-on un avancement le long de cette direction ? L’exemple de la vis montre comment répondre, contrôler le cas de la translation pure, puis décider si l’hypothèse du point fixe autorise la représentation par deux cônes.

Pour construire une chronologie fiable, on rattache 1803 aux Éléments de Statique, 1809 aux polyèdres étoilés et 1834 à la Théorie nouvelle de la rotation des corps. Le traité final sur la précession des équinoxes reste sans année précise dans la source.

Les solides de Kepler-Poinsot et le mouvement à la Poinsot ne désignent pas le même apport. Les premiers sont quatre polyèdres réguliers étoilés découverts en 1809 ; le second représente par deux cônes le mouvement d’un solide autour d’un point fixe.

La décomposition instantanée du mouvement ne se confond pas non plus avec la représentation par roulement de cônes. Lorsque la vitesse angulaire n’est pas nulle, la première associe rotation et translation parallèle à l’axe ; une translation pure ne détermine aucun axe privilégié. La seconde concerne le cas particulier d’un point fixe.

La décomposition énoncée par Poinsot ne réduit pas tout mouvement à une rotation pure. Lorsque la vitesse angulaire n’est pas nulle, le symptôme de cette lecture incomplète est l’oubli de la translation parallèle à l’axe instantané ; il faut conserver les deux composantes. Lorsque la vitesse angulaire est nulle, le mouvement est une translation pure et aucun axe n’est privilégié.

Le roulement d’un cône lié au solide sur un cône fixe n’est présenté dans la source que pour un solide en mouvement autour d’un point fixe. Sans cette hypothèse, il faut revenir à la décomposition instantanée donnée pour le mouvement du solide, en distinguant le cas dégénéré de la translation pure.

L’année 1809 se rapporte à la découverte des quatre polyèdres réguliers étoilés, tandis que 1834 date la publication de la théorie de la rotation. La source ne date pas le traité final sur la précession des équinoxes : lui attribuer 1834 confondrait deux publications distinctes.

L’entrée polyèdre précise l’objet géométrique dont les quatre solides réguliers étoilés constituent le prolongement étudié par Poinsot.

Le portrait de Kepler Johannes situe l’autre nom associé à l’appellation « solides de Kepler-Poinsot ».