Median of a data set
Dans une série non vide de données quantitatives rangées par ordre croissant, une médiane situe le centre : au moins la moitié des données lui sont inférieures ou égales, et au moins la moitié lui sont supérieures ou égales. Si l'effectif est impair, c'est la donnée du milieu ; s'il est pair, la convention retenue ici prend la moyenne des deux données centrales. Elle résume la série et reste peu sensible aux valeurs extrêmes.
Contents
What you will learn
- Classer les données et repérer le ou les rangs centraux.
- Calculer la médiane pour un effectif pair ou impair.
- Vérifier le résultat sur la série 4, 7, 7, 9, 12 et 15.
- Distinguer médiane, moyenne arithmétique et médiane géométrique.
- Interpréter la convention AFNOR et le rang généralisé.
In plain terms
Rangez six valeurs : 4, 7, 7, 9, 12 et 15. Le milieu se trouve entre la troisième, 7, et la quatrième, 9. Leur valeur centrale est 8 : trois données sont inférieures ou égales à 8, et trois lui sont supérieures ou égales.
Cette valeur de partage est la médiane. Avec un nombre impair de données, une valeur occupe directement le rang du milieu. Avec un nombre pair, la convention usuelle prend la moyenne des deux valeurs centrales.
Definition
Une série statistique comporte n données quantitatives. Après les avoir rangées par ordre croissant, on note xi la donnée de rang i. Une médiane est une valeur telle qu'au moins la moitié des données lui sont inférieures ou égales et qu'au moins la moitié lui sont supérieures ou égales. Le rang recherché dépend donc du nombre n de données.
Si n est impair, le rang (n + 1)/2 est entier et la médiane est l'unique valeur qui l'occupe : . Si n est pair et si les deux valeurs centrales xn/2 et xn/2+1 coïncident, leur valeur commune est la médiane. Si elles diffèrent, l'intervalle fermé compris entre elles est l'intervalle des médianes ; selon la convention AFNOR donnée ici, on choisit son centre : .
Le rang généralisé réunit les deux cas. Pour un rang réel R compris entre 1 et n, si R est entier, la valeur de rang R est xR. Si R n'est pas entier, alors 1 < R < n ; en notant r sa partie entière, elle est obtenue par interpolation linéaire entre les rangs r et r + 1 : . La médiane est alors la valeur de rang généralisé (n + 1)/2.
What it is made of
Le calcul repose sur cinq éléments. Les données quantitatives fournissent les valeurs à comparer. Leur effectif n détermine si un ou deux rangs centraux interviennent. L'ordre croissant attribue à chaque donnée son rang i. Enfin, la convention de sélection fixe une valeur lorsque les deux données centrales diffèrent.
Sans classement, l'indice ne renseigne pas la position et le milieu ne peut pas être repéré. Une fois les rangs établis, la parité de n commande le choix : un rang central pour un effectif impair, deux rangs centraux pour un effectif pair. Ces éléments suffisent à calculer la médiane, indépendamment de l'ordre dans lequel les données ont été recueillies.
A step-by-step example
Considérons les six valeurs déjà ordonnées 4, 7, 7, 9, 12 et 15. Les données sont l'effectif n = 6, les rangs allant de 1 à 6 et la convention qui retient le centre des deux valeurs centrales.
1. L'effectif 6 est pair. Les deux rangs centraux sont donc n/2 = 3 et n/2 + 1 = 4.
2. Les valeurs correspondantes sont x3 = 7 et x4 = 9. Elles diffèrent, donc l'intervalle médian est [7 ; 9]. La figure matérialise les rangs, les deux valeurs centrales et leur centre.
3. Appliquons la convention : . La médiane de la série est 8.
4. Contrôlons le partage : 4, 7 et 7 sont inférieurs ou égaux à 8 ; 9, 12 et 15 sont supérieurs ou égaux à 8. Chaque côté compte trois données.
In practice
Pour une liste brute de mesures, commencez par les classer dans l'ordre croissant et comptez-les. Un effectif impair conduit à lire une seule donnée centrale ; un effectif pair conduit à examiner les deux données centrales.
Pour contrôler un résultat, comptez les rangs placés de part et d'autre de la valeur annoncée. Si les deux groupes n'ont pas le même effectif, vérifiez d'abord le tri et les rangs avant de refaire le calcul.
Lorsque les deux valeurs centrales sont différentes, précisez la convention employée. La convention AFNOR retenue dans cette fiche choisit leur moyenne ; sans cette précision, l'intervalle médian contient plusieurs valeurs possibles.
Not to be confused with
Médiane et moyenne arithmétique. La médiane dépend des rangs après classement ; la moyenne arithmétique additionne toutes les valeurs puis divise par leur nombre. Pour 4, 7, 7, 9, 12 et 15, la médiane vaut 8, tandis que la moyenne vaut 9.
Médiane statistique et médiane d'un triangle. La première est une valeur obtenue dans une série quantitative ordonnée. La seconde appartient à la géométrie du triangle. La présence de données, d'un effectif et de rangs signale ici le sens statistique.
Limits and pitfalls
Série non ordonnée. Prendre la valeur située au centre de la liste saisie donne un résultat dépendant de l'ordre de saisie. Le symptôme est qu'une permutation change la réponse ; il faut classer les données avant d'attribuer les rangs.
Effectif pair. Avec n = 6, il n'existe pas un rang entier unique égal à (n + 1)/2, puisque ce rang généralisé vaut 3,5. Il faut utiliser les rangs 3 et 4, puis annoncer la convention qui choisit 8 entre 7 et 9.
Valeurs centrales égales. Dans 4, 7, 7, 7, 12 et 15, les rangs 3 et 4 portent tous deux la valeur 7. La médiane vaut directement 7 ; l'intervalle médian fermé [7 ; 7] est réduit à ce singleton, et chercher une autre valeur serait inutile.
Rang généralisé au bord. La formule d'interpolation utilise deux rangs consécutifs lorsqu'un rang R n'est pas entier. Pour la médiane, (n + 1)/2 reste dans [1 ; n] dès que la série contient au moins une donnée ; une série vide ne fournit donc aucune médiane par cette définition.
Further reading
quartile — Étendre le découpage par rangs à quatre parts de la série ordonnée.
moyenne arithmétique — Comparer un indicateur calculé avec toutes les valeurs à l'indicateur central fondé sur les rangs.
statistique descriptive — Replacer la médiane parmi les outils qui résument une série de données.
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