Les sommes d’entiers consécutifs --------------------------------
• Quels sont les nombres qui sont sommes de trois entiers positifs consécutifs ? (« positif » s’entend ici comme « strictement positif ».)
• Plus généralement, quels sont les nombres qui sont sommes de n entiers positifs consécutifs, où n est un entier vérifiant n ≥ 2 ?
• Plus généralement encore, quels sont ceux qui sont sommes d’au moins deux entiers positifs consécutifs ?
Le plus grand produit ---------------------
On choisit un nombre entier supérieur ou égal à 2. On le décompose en somme de plusieurs entiers, par exemple 14 = 5 + 9 ou 14 = 3 + 7 + 4 (et bien d’autres) et on fait le produit de ces nombres, ici 5 × 9 = 45, 3 × 7 × 4 = 84, etc.
Pour quelle décomposition obtient-on le plus grand produit ?
C’est vache les tiers ---------------------
Soit ABC un triangle, I (resp. J, resp. K) le point situé sur \[BC\] (resp. \[CA\], resp. \[AB\]) au tiers du côté de B (resp. C, resp. A). Les segments \[BJ\] et \[CK\] (resp. \[CK\] et \[AI\], resp. \[AI\] et \[BJ\]) se coupent en E (resp. F , resp. G). Quel est le rapport entre les aires des triangles ABC et EFG ? On pourra commencer par traiter le cas où ABC est équilatéral.
L'interview de Daniel Perrin -----------------------------
Daniel Perrin est mathématicien, professeur honoraire à l’université Paris-Saclay, où il continue d’assurer des cours de préparation à l’agrégation. Parallèlement à ses travaux de recherche en géométrie algébrique, il a beaucoup réfléchi à l’enseignement des mathématiques et la formation des maîtres a toujours constitué une partie importante de ses activités. Il a longtemps enseigné à l’École normale supérieure, d’abord à celle de jeunes filles (Sèvres), puis à celle de la rue d’Ulm, avant de rejoindre l’IUFM de Versailles et l’université d’Orsay (aujourd’hui Paris-Saclay). Il y a créé une licence pluridisciplinaire pour la formation des professeurs des écoles qui a connu un grand succès et lui a inspiré l’excellent livre Mathématiques d’école (Cassini, 2011). Il est aussi l’auteur d’une Introduction à la géométrie algébrique et d’un Cours d’algèbre qui sont de grands classiques.
Il prépare actuellement un ouvrage sur la géométrie projective plane et ses applications aux géométries euclidienne et non euclidiennes. Membre de la commission de réflexion sur l’enseignement des mathématiques (CREM ou « commission Kahane », 1999), Daniel Perrin en a coordonné les rapports concernant la géométrie et la formation des maîtres.
« J’aime le premier problème parce qu’il montre la puissance de la méthode "expérimentale" en mathématiques : le résultat de la troisième question n’est pas du tout évident à trouver mais l’expérience donne aussitôt la bonne conjecture. Le problème du plus grand produit, que je dois à Jacques Douaire, a donné lieu à des expériences très intéressantes à l’école primaire. Mais l’énoncé et la solution que j’en donne ici ne sont pas pour le primaire. Enfin le problème de géométrie est une belle illustration des idées du programme d’Erlangen de Félix Klein. C’est un problème affine, parce que ses hypothèses (points au tiers des segments) et sa conclusion (rapport d’aires) sont des propriétés affines. Or on peut transformer tout triangle en un triangle équilatéral par une application affine, ce qui permet de se contenter de traiter le cas où le triangle est équilatéral. Mais je donne ici une solution dans le cas général qui n’utilise que les outils du collège. »
L’interview est disponible en intégralité en vidéo sur notre chaine YouTube.