pedal curve
La podaire d'une courbe C par rapport à un point P est le lieu géométrique des pieds des perpendiculaires abaissées de P sur les tangentes à la courbe C. Autrement dit, pour chaque position d'une tangente à C, on projette orthogonalement le point P sur cette tangente ; l'ensemble de tous ces points de projection constitue la podaire. Cette notion généralise celle de pied de perpendiculaire à une droite et s'étend aux points des courbes planes où une tangente est définie.
Contents
What you will learn
- Identifier le point de la podaire associé à une tangente.
- Construire et contrôler un pied de projection sur un exemple de cercle.
- Repérer les cas où la tangente ou la paramétrisation pose problème.
In plain terms
Imaginez une règle posée contre une courbe, puis déplacée tout le long de celle-ci. À chaque position, la règle suit la tangente locale. Depuis un point fixe P, on abaisse sur la règle le segment le plus court : il la rencontre à angle droit en un point H.
Quand la règle se déplace, H se déplace aussi et dessine une nouvelle courbe. Cette trace est la podaire de la courbe initiale par rapport à P. Elle dépend donc à la fois de la courbe et du point choisi.
Definition
Soit une courbe plane C et un point fixe P. En un point régulier M de C, la courbe possède une tangente. Le point H est la projection orthogonale de P sur cette tangente : H appartient à la tangente en M et la droite PH lui est perpendiculaire. La podaire de C relativement à P est le lieu des points H obtenus lorsque M parcourt les points de C où une tangente est définie.
Si la courbe est paramétrée par un point M(t) et si un vecteur directeur non nul de sa tangente est noté u(t), le pied H(t) s'écrit : . Cette formule exige que le vecteur tangent u(t) ne soit pas nul. Elle exprime exactement les deux conditions géométriques : H(t) est sur la tangente et le vecteur allant de P à H(t) est orthogonal à u(t).
Le même point H peut correspondre à plusieurs points M, et la podaire peut avoir des croisements ou des points singuliers. Pour une courbe présentant un coin ou une cuspide, la construction demande de préciser quelles tangentes sont retenues.
A step-by-step example
Prenons le cercle de centre O = (0, 0) et de rayon 2, ainsi que le point fixe P = (4, 0). Choisissons sur le cercle le point M = (0, 2).
1. Le rayon OM est vertical. La tangente au cercle en M est donc horizontale et a pour équation y = 2.
2. La perpendiculaire à cette tangente passant par P est la droite verticale x = 4.
3. Les droites y = 2 et x = 4 se coupent en H = (4, 2). Ce point est donc un point de la podaire. Le contrôle est direct : H appartient bien à la tangente, et le segment PH est vertical tandis que la tangente est horizontale.
En recommençant pour chaque point M du cercle, les pieds H tracent toute la podaire. La construction conserve le cercle, la tangente choisie et le segment perpendiculaire, afin de rendre visible le passage d'une tangente particulière au lieu complet.
In practice
Pour construire quelques points à la règle et à l'équerre, on choisit plusieurs points réguliers de la courbe, on trace leurs tangentes, puis on projette P sur chacune. Une construction géométrique est préférable au calcul lorsque seules quelques positions doivent être visualisées.
Pour obtenir un tracé dense, on paramètre la courbe et on calcule le pied H pour une suite de valeurs du paramètre. Cette voie est préférable lorsque l'on veut observer les boucles, croisements ou singularités du lieu.
Avant d'interpréter le résultat, on vérifie deux faits : chaque point calculé appartient à la tangente correspondante, et le segment qui le relie à P est perpendiculaire à cette tangente.
Not to be confused with
La projection orthogonale d'une courbe sur une droite projette directement chaque point de la courbe sur une droite fixe. Pour une podaire, on projette au contraire un seul point fixe P sur une famille de tangentes mobiles. Si la droite de réception ne change pas, il ne s'agit pas de cette construction podaire.
La développée d'une courbe est le lieu de ses centres de courbure. Le test porte sur le point construit : un pied de perpendiculaire issu de P appartient à la podaire, tandis qu'un centre du cercle osculateur appartient à la développée.
Limits and pitfalls
En un point où la courbe n'a pas de tangente unique, comme un coin, le pied H n'est pas déterminé sans convention supplémentaire. Il faut restreindre la construction aux points réguliers ou annoncer explicitement les demi-tangentes retenues.
Si une tangente passe par P, sa projection orthogonale est P lui-même. Plusieurs tangentes peuvent ainsi produire le même point de la podaire ; compter les points du lieu ne revient donc pas à compter les tangentes.
Un paramétrage dont le vecteur tangent s'annule ne permet pas d'appliquer directement la formule de projection à cette valeur. Il faut rechercher la tangente géométrique par une autre paramétrisation ou par une limite, si elle existe.
Pour une courbe ayant plusieurs composantes, chaque composante fournit ses propres tangentes et tous les pieds obtenus appartiennent au lieu. Oublier une composante produit seulement une partie de la podaire.
Further reading
La projection replace la construction dans la famille des applications qui envoient un point sur un support selon une direction imposée.
La cardioïde fournit un prolongement remarquable : elle apparaît comme podaire d'un cercle lorsque le point fixe est choisi sur ce cercle.
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