Perpendicular lines
Deux droites sont perpendiculaires lorsqu'elles forment un angle droit en leur point d'intersection. Dans un repère orthonormé, lorsque leurs coefficients directeurs m et m' existent, elles sont perpendiculaires si et seulement si le produit m fois m' est égal à moins un. Une droite verticale, qui n'a pas de coefficient directeur, est perpendiculaire à toute droite horizontale. La perpendicularité est une notion symétrique et liée au produit scalaire : deux vecteurs sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul. Cette notion fondamentale de la géométrie euclidienne est à la base de la trigonométrie rectangulaire.
Contents
What you will learn
- Reconnaître l'angle droit qui définit deux droites perpendiculaires.
- Vérifier la perpendicularité par le produit des pentes dans un repère orthonormé.
- Employer le produit scalaire lorsque le critère des pentes ne s'applique pas.
- Distinguer perpendicularité, simple intersection et parallélisme.
In plain terms
Imaginez le coin d'une feuille : ses deux bords se rencontrent en formant un angle droit. Des droites qui se coupent de cette manière sont perpendiculaires. Le petit carré dessiné au point de rencontre signale cet angle de 90°.
Tourner l'une des directions d'un quart de tour l'amène donc sur l'autre. L'ordre des deux droites ne change rien : si la première est perpendiculaire à la seconde, la seconde l'est aussi à la première.
Definition
Dans le plan euclidien, deux droites sécantes sont perpendiculaires lorsque les quatre angles déterminés par leur intersection sont droits. Il suffit d'en identifier un : les angles opposés sont égaux et deux angles adjacents ont une somme de 180°. La relation est symétrique.
Dans un repère orthonormé, supposons que les deux droites ne soient pas verticales. Leurs coefficients directeurs, notés m et m′, mesurent leurs pentes. Le critère s'écrit . Une droite verticale n'a pas de coefficient directeur ; elle est perpendiculaire à toute droite horizontale, cas que la formule des pentes ne couvre pas.
On peut aussi choisir un vecteur directeur non nul sur chaque droite. Deux droites sécantes sont perpendiculaires exactement lorsque ces deux vecteurs sont orthogonaux, c'est-à-dire lorsque leur produit scalaire est nul. Cette formulation inclut les droites verticales et relie la perpendicularité à la géométrie vectorielle, fondement des relations trigonométriques dans un triangle rectangle.
A step-by-step example
On considère, dans un repère orthonormé, la droite d d'équation y = x et la droite d′ d'équation y = −x + 4. Le coefficient directeur de d vaut 1 ; celui de d′ vaut −1.
1. On multiplie les deux coefficients directeurs : . Le critère est satisfait, donc d et d′ sont perpendiculaires.
2. Pour trouver leur point d'intersection, on égalise les deux expressions de y : . On obtient 2x = 4, puis x = 2 et y = 2. Les droites se coupent au point A de coordonnées (2 ; 2).
3. Un contrôle vectoriel donne le même verdict. Les vecteurs de coordonnées (1 ; 1) et (1 ; −1) dirigent respectivement d et d′. Leur produit scalaire vaut . La figure matérialise l'angle droit en A et permet de contrôler les deux pentes sur le quadrillage.
In practice
Sur une figure, l'équerre permet de tracer une perpendiculaire passant par un point. Si l'on doit construire sans équerre, le compas et la règle fournissent une construction géométrique ; le petit carré code ensuite l'angle droit sans remplacer la justification.
Dans un repère orthonormé, le produit des coefficients directeurs est le test le plus rapide lorsque les deux droites ont une pente définie. Si l'une est verticale, on cherche directement si l'autre est horizontale.
Avec des coordonnées de vecteurs, le produit scalaire convient à toutes les directions. Il est préférable au dessin lorsque l'échelle ou l'épaisseur des traits rend l'angle trompeur : un produit nul donne un critère exact.
Not to be confused with
Droites sécantes. Elles ont un point commun, mais l'angle formé n'est pas nécessairement droit. Les droites y = x et y = 2x se coupent à l'origine sans être perpendiculaires, car le produit de leurs pentes vaut 2.
Droites parallèles. Dans le plan euclidien, deux droites parallèles distinctes ne se coupent pas, tandis que deux perpendiculaires ont un point d'intersection. Des pentes égales signalent le parallélisme, pas la perpendicularité.
Vecteurs orthogonaux. L'orthogonalité compare des vecteurs par un produit scalaire nul. Pour des droites, ce test appliqué à des vecteurs directeurs non nuls caractérise des directions orthogonales ; pour conclure que les droites sont perpendiculaires, elles doivent aussi se couper. Un dessin de deux flèches isolées ne suffit pas à parler de droites perpendiculaires.
Limits and pitfalls
Pente verticale. Le calcul m × m′ = −1 n'est utilisable que si les deux coefficients directeurs existent. Pour une verticale et une horizontale, il faut constater leurs directions ou employer des vecteurs directeurs, par exemple (0 ; 1) et (1 ; 0), dont le produit scalaire est nul.
Repère non orthonormé. Le produit des pentes égal à −1 suppose des axes perpendiculaires et la même unité graphique sur les deux axes. Sans ces conditions, les pentes seules ne traduisent plus l'angle euclidien ; il faut utiliser le produit scalaire adapté au repère.
Lecture du dessin. Deux traits peuvent sembler former 90° sans que ce soit exact, surtout sur une image déformée. Le codage d'angle droit exprime une hypothèse de la figure ; sinon, un calcul ou une construction justifie la perpendicularité.
Further reading
L'angle droit précise la mesure de 90° qui caractérise l'intersection de deux perpendiculaires.
Le coefficient directeur explique comment lire et calculer la pente utilisée dans le critère m × m′ = −1.
Le produit scalaire généralise le test à des vecteurs directeurs et couvre notamment le cas des droites verticales.
Explore mathematics differently
Discover our magazines, podcasts and games to explore mathematics differently.
See our offers