Plücker conoid

Imaginez des droites horizontales qui traversent toutes un même axe vertical. En tournant autour de cet axe, leur hauteur monte, redescend, puis recommence selon une oscillation régulière. La réunion de ces droites forme le conoïde de Plücker.

La surface est donc réglée : chaque point appartient à l'une de ses droites génératrices. Deux tours de l'oscillation verticale correspondent à un tour autour de l'axe.

Le conoïde de Plücker est une surface réglée : elle est engendrée par une famille de droites, appelées génératrices. On note a un réel non nul qui fixe l'amplitude verticale, t l'angle de la génératrice et r la position le long de cette droite. Une paramétrisation à deux paramètres est :

Pour chaque angle fixé, faire varier r trace une droite horizontale qui rencontre l'axe vertical. Hors de cet axe, l'élimination des paramètres donne $z=\frac{2axy}{x^2+y^2}z=\backslash frac\{2axy\}\{x^2+y^2\}$. Sur l'axe, où x = y = 0, ce quotient n'est pas défini ; la paramétrisation ajoute le segment vertical compris entre −|a| et |a|. La formule à un seul paramètre x = a cos t, y = a sin t, z = a sin 2t ne décrit que la courbe obtenue en imposant r = a, et non toute la surface.

Prenons une amplitude a = 2, l'angle t = π/4 et la position r = 2 sur la génératrice. Les données sont donc a = 2, t = π/4 et r = 2.

1. On calcule x = 2 cos(π/4) = √2.
2. On calcule y = 2 sin(π/4) = √2.
3. On calcule z = 2 sin(π/2) = 2.

Le point obtenu est donc (√2, √2, 2). Un contrôle indépendant consiste à utiliser l'équation implicite : $\frac{2axy}{x^2+y^2}=\frac{2\times 2\times \sqrt{2}\times \sqrt{2}}{2+2}=2\backslash frac\{2axy\}\{x^2+y^2\}=\backslash frac\{2\backslash times2\backslash times\backslash sqrt2\backslash times\backslash sqrt2\}\{2+2\}=2$. Le résultat coïncide bien avec la hauteur calculée. Si seul t reste fixé et que r varie, les points obtenus parcourent toute la droite rouge représentée par la figure.

Pour construire la surface, on choisit plusieurs angles t. À chaque angle, on place la droite horizontale de hauteur a sin(2t), orientée dans la direction donnée par t. La réunion de ces génératrices révèle la forme sans maillage arbitraire.

Pour tester un point situé hors de l'axe, on compare sa coordonnée verticale à 2axy/(x² + y²). Sur l'axe, ce calcul doit être remplacé par la paramétrisation, car le dénominateur x² + y² s'annule lorsque x = y = 0.

Pour suivre une seule courbe sur la surface, on fixe r. Le choix r = a produit la couronne sinusoïdale mentionnée dans la définition source ; faire varier r est indispensable pour retrouver la surface entière.

Une courbe paramétrée dépend ici d'un seul paramètre : fixer r = a et faire varier t donne une courbe fermée portée par la surface. Le conoïde entier exige deux paramètres indépendants, r et t.

Une surface de révolution est obtenue en faisant tourner un même profil autour d'un axe. Le conoïde de Plücker n'a pas cette invariance : la hauteur d'une génératrice dépend de son angle selon a sin(2t).

Sur l'axe x = y = 0, l'équation z = 2axy/(x² + y²) présente la forme indéfinie 0/0. Il ne faut pas lui attribuer une valeur par substitution : la paramétrisation montre que la surface contient le segment −|a| ≤ z ≤ |a| de cet axe.

Quand un point tend vers l'axe selon une droite d'angle t, sa hauteur reste égale à a sin(2t). Des directions différentes donnent donc des hauteurs limites différentes : la formule cartésienne ne se prolonge pas en une fonction continue z = f(x, y) au-dessus de l'origine.

La condition a ≠ 0 écarte le cas dégénéré. Si a = 0, toutes les génératrices sont dans le plan z = 0 et l'oscillation verticale disparaît ; on n'obtient plus le conoïde non dégénéré décrit ici.

La fiche Plücker Julius replace le nom de cette surface parmi les contributions de Julius Plücker à la géométrie analytique et algébrique.