Plücker Julius

En 1865, à Bonn, Julius Plücker reprend la géométrie projective avec Felix Klein. Concrètement, leur travail cherche à décrire une droite et les figures qui l'entourent sans dépendre d'un dessin particulier.

Plücker est aussi un passeur entre géométrie et physique. Il étudie les courbes algébriques par leurs points singuliers, puis les décharges électriques dans les gaz et les rayons cathodiques. Ses formules relient deux façons de mesurer une courbe plane : son ordre et sa classe.

Julius Plücker est un mathématicien et physicien allemand dont les travaux se situent principalement à l'intersection de la géométrie algébrique, de la géométrie projective et de la physique expérimentale. En géométrie, il étudie notamment les points singuliers des courbes algébriques : pour une courbe plane donnée localement par une équation réduite F(x,y)=0, ce sont les points où F et ses deux dérivées partielles premières s'annulent simultanément.

Ses formules relient l'ordre d'une courbe plane, lié au degré de son équation, et sa classe, liée au nombre de tangentes qu'une droite générique lui mène. Cette relation concerne une courbe plane algébrique dans les conditions de régularité et de position générique nécessaires ; elle ne constitue pas une règle indifférente aux singularités ou aux choix de convention. Les coordonnées plückériennes prolongent cette idée en représentant une droite par des coordonnées homogènes adaptées à la géométrie projective.

La carrière de Plücker comprend aussi une chaire de mathématiques à Bonn en 1836, puis une chaire de physique en 1847. À partir de 1865, sa collaboration avec Felix Klein développe une théorie analytique de la géométrie projective. Le conoïde de Plücker, ou cylindroïde, relève d'un autre objet : c'est un conoïde droit dont la directrice est une courbe sinusoïdale.

Mini-cas : classez chaque référence selon le sens du nom de Plücker. « L'ordre, la classe et les points singuliers d'une courbe » renvoient aux formules de Plücker : la référence porte sur les caractéristiques d'une courbe plane. « Une droite est donnée par des coordonnées homogènes » renvoie aux coordonnées plückériennes : l'objet cité est une droite dans la géométrie projective. « Les décharges électriques dans les gaz et les rayons cathodiques » renvoient à la physique expérimentale : le contexte décrit un phénomène étudié, non une propriété de courbe.

Première étape : 1823 fixe le point de départ universitaire, avec une thèse consacrée aux applications de l'analyse à la géométrie supérieure et à la mécanique.
Deuxième étape : entre 1828 et 1839, les traités sur les courbes algébriques installent l'étude des points singuliers au centre de son travail.
Troisième étape : 1836 situe son enseignement des mathématiques à Bonn, avant la chaire de physique obtenue en 1847.
Quatrième étape : à partir de 1865, la géométrie projective, les coordonnées plückériennes et la collaboration avec Klein prolongent cette trajectoire.
Cinquième étape : 1868 correspond à la première partie de Neue Geometrie des Raumes ; Klein publie la seconde partie après la mort de Plücker, en 1869.

Le contrôle consiste à ne pas fusionner ces repères : 1836 désigne la chaire de mathématiques, 1847 celle de physique, 1868 la première publication de l'ouvrage et 1869 sa complétion posthume. La chronologie rend visible le passage des courbes algébriques à la géométrie projective, sans effacer les recherches physiques menées entre-temps.

Pour lire une référence à Plücker en géométrie, le contexte indique généralement l'objet concerné. Les formules de Plücker renvoient aux courbes planes et à la relation entre ordre et classe ; les coordonnées plückériennes renvoient à la représentation projective des droites.

Pour situer une publication, la chronologie sépare les travaux de géométrie publiés entre 1828 et 1839, le retour à la géométrie projective à partir de 1865 et l'ouvrage de 1868 complété en 1869. Cette séparation évite d'attribuer à une même période des résultats différents.

En physique, le nom de Plücker se rencontre à propos du magnétisme, des décharges électriques dans les gaz, des rayons cathodiques et de la spectrographie des gaz. Le critère utile est alors le phénomène expérimental étudié, et non une propriété de courbe.

Les coordonnées plückériennes ne sont pas les formules de Plücker. Les premières servent à représenter des droites dans un cadre projectif au moyen de coordonnées homogènes ; les secondes relient des caractéristiques d'une courbe plane algébrique. Une référence à une droite ou à ses coordonnées tranche en faveur des coordonnées plückériennes, tandis qu'une référence à l'ordre, à la classe ou aux points singuliers tranche en faveur des formules.

Le conoïde de Plücker n'est pas une courbe algébrique plane. C'est une surface, aussi appelée cylindroïde, définie comme un conoïde droit dont la directrice est une courbe sinusoïdale. Le mot surface et la présence d'une directrice sinusoïdale permettent de distinguer cet objet du travail de classification des courbes.

Une formule reliant l'ordre et la classe ne se lit pas comme une identité valable pour n'importe quel tracé. Elle concerne les courbes planes algébriques dans les hypothèses adaptées, et l'étude des points singuliers est précisément nécessaire lorsque la courbe cesse d'être régulière. Si une courbe présente une singularité ou une position spéciale, il faut vérifier les corrections et les conventions du cadre utilisé au lieu d'appliquer mécaniquement une relation générique.

Le mot « coordonnées » peut aussi induire une lecture trop concrète. Les coordonnées plückériennes sont homogènes : plusieurs représentants proportionnels peuvent décrire le même objet projectif. Il faut donc considérer la classe projective du jeu de coordonnées, et non interpréter chaque valeur comme une mesure indépendante dans un repère ordinaire.

Enfin, la contribution aux rayons cathodiques a contribué à la découverte de l'électron, mais elle ne signifie pas que Plücker a à lui seul établi toute la théorie électronique. La formulation correcte conserve le lien entre ses recherches et cette découverte, sans transformer une contribution historique en attribution exclusive.

La fiche courbe algébrique permet de préciser l'objet dont Plücker étudie les points singuliers et les caractéristiques géométriques.

La fiche Klein Félix éclaire la collaboration engagée à partir de 1865 et la publication posthume de la seconde partie de Neue Geometrie des Raumes.

L'article Tracer les courbes algébriques au XVIIIe siècle : le parallélogramme analytique de Newton et la méthode de Cramer replace l'étude des courbes algébriques dans une histoire antérieure aux travaux de Plücker.