point of concurrency
En géométrie, un point de concours est un point particulier par lequel passent simultanément au moins trois droites distinctes. On dit alors que ces droites sont concourantes en ce point. La notion de point de concours intervient fréquemment dans la géométrie du triangle, où de nombreuses familles de droites remarquables — médianes, hauteurs, bissectrices — convergent en des points caractéristiques (centroïde, orthocentre, incentre, etc.). L'existence d'un point de concours pour trois droites données est souvent une propriété non triviale, démontrée à l'aide de théorèmes tels que celui de Céva.
Contents
What you will learn
- Définir un point de concours par le passage d'au moins trois droites distinctes.
- Vérifier la concurrence des trois médianes dans un exemple coordonné.
- Distinguer le centroïde, l'orthocentre et l'incentre selon la famille de droites.
In plain terms
Tracez un triangle, puis reliez chaque sommet au milieu du côté opposé. Les trois droites obtenues semblent se croiser au même endroit. Ce lieu de rencontre unique est leur point de concours.
La même idée vaut pour d'autres familles de droites. Les trois hauteurs d'un triangle se rencontrent à l'orthocentre, tandis que ses trois bissectrices se rencontrent à l'incentre. Le point change avec la famille de droites choisie.
Definition
Un point de concours est un point commun à au moins trois droites distinctes. Si ce point est noté P, chaque droite de la famille passe par P. On dit alors que les droites sont concourantes en P. Le fait que les droites soient distinctes exclut le simple comptage répété d'une même droite.
Dans un triangle non dégéné, plusieurs familles classiques possèdent chacune leur point de concours. Les médianes, qui joignent un sommet au milieu du côté opposé, se rencontrent au centroïde. Les hauteurs, perpendiculaires aux côtés opposés ou à leurs prolongements, se rencontrent à l'orthocentre. Les bissectrices des angles intérieurs se rencontrent à l'incentre.
Pour trois droites quelconques, l'existence d'un tel point ne va pas de soi. Deux d'entre elles peuvent se couper sans que la troisième passe par leur intersection. En géométrie du triangle, le théorème de Céva fournit notamment un critère pour démontrer que trois droites issues des sommets sont concourantes.
A step-by-step example
Considérons le triangle dont les sommets sont A(0 ; 0), B(6 ; 0) et C(0 ; 3). Les points I, J et K sont les milieux respectifs des côtés [BC], [AC] et [AB]. Nous allons contrôler que les trois médianes ont un même point.
Données : I(3 ; 1,5), J(0 ; 1,5) et K(3 ; 0). Les trois médianes sont donc les droites (AI), (BJ) et (CK).
1. En notant x l'abscisse et y l'ordonnée d'un point, les deux premières médianes ont pour équations :
2. Leur intersection vérifie les deux équations. On obtient :
Le point commun aux droites (AI) et (BJ) est donc G(2 ; 1).
3. La troisième médiane (CK) a pour équation y = −x + 3. Les coordonnées de G la vérifient bien, car 1 = −2 + 3.
Les trois médianes passent donc par G : ce point est leur point de concours. Pour refaire le contrôle, remplacez x par 2 dans chacune des trois équations ; elles donnent toutes y = 1.
In practice
Dans une construction au compas et à la règle, on trace deux médianes d'un triangle pour obtenir leur intersection. On trace ensuite la troisième : son passage par le même point contrôle la construction.
Dans un repère, on calcule l'intersection de deux droites, puis on vérifie que ses coordonnées satisfont l'équation de la troisième. Cette méthode convient lorsque les équations sont connues ; une preuve synthétique est souvent préférable sans coordonnées.
Pour trois droites issues des sommets d'un triangle et rencontrant les côtés opposés, le théorème de Céva peut remplacer le calcul des intersections. Il est utile lorsque les rapports de longueurs sont plus accessibles que les équations des droites.
Not to be confused with
Intersection de deux droites. Deux droites sécantes ont un point d'intersection, mais cela ne suffit pas à former un point de concours au sens retenu ici. Le critère décisif est le passage d'au moins une troisième droite distincte par ce même point.
Centroïde d'un triangle. Le centroïde est le point de concours des trois médianes, et non le nom de tout point de concours. Si les droites considérées sont les hauteurs, leur point de concours est l'orthocentre.
Limits and pitfalls
Droites confondues. Trois noms ne garantissent pas trois droites distinctes. Si deux tracés recouvrent exactement la même droite, il faut d'abord identifier les droites géométriques réellement différentes avant de conclure.
Parallélisme. Si deux des droites distinctes sont parallèles dans le plan euclidien, elles n'ont aucun point commun fini. Les trois droites ne peuvent donc pas avoir de point de concours fini.
Concurrence seulement apparente. Sur un dessin peu précis, trois traits peuvent sembler se rejoindre alors que leurs intersections sont voisines et distinctes. Il faut contrôler la propriété par une construction exacte, des équations ou un théorème.
Triangle dégéné. Si les trois sommets sont alignés, plusieurs droites remarquables peuvent se confondre et les points classiques ne se comportent plus comme dans un triangle ordinaire. Les résultats usuels supposent un triangle non dégéné.
Further reading
Orthocentre — Situez le point de concours des hauteurs et observez comment sa position varie selon la forme du triangle.
théorème de Céva — Approfondissez le critère qui établit la concurrence de trois droites issues des sommets d'un triangle.
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