Rauzy fractal

Imaginez trois symboles a, b et c transformés encore et encore par la règle de Tribonacci : a devient ab, b devient ac et c devient a. En partant de a, on obtient ainsi a, puis ab, puis abac. Les mots s’allongent, mais leur organisation n’est pas laissée au hasard. La fractale de Rauzy traduit cette organisation symbolique en une forme fractale.

Elle forme ainsi un pont entre une règle symbolique et une forme géométrique. Sa finesse se décrit notamment par une dimension de Hausdorff, calculée à partir d’un nombre algébrique associé à la substitution.

La fractale de Rauzy est un ensemble fractal associé à la substitution de Tribonacci, une généralisation à trois symboles de la substitution de Fibonacci. Introduite par Gérard Rauzy (1939-2010), elle relie une construction issue de la dynamique symbolique à des questions de géométrie fractale, de théorie des nombres et de pavages apériodiques.

Sa dimension de Hausdorff est notée ici s. Pour la substitution de Tribonacci, α se choisit parmi les deux valeurs propres non dominantes, complexes conjuguées, de la matrice de substitution ; son module mesure la contraction utilisée dans l’équation. La relation donnée est : La valeur absolue |α| intervient : l’équation ne dépend donc pas du signe, ni de l’argument si α est complexe.

Cette relation ne suffit pas à calculer s tant que α n’est pas précisé. Sous la condition 0 < |α| < 1, son membre de gauche décroît avec s et l’équation admet une unique solution réelle positive. Le choix exact du nombre algébrique reste donc une donnée indispensable de la substitution étudiée.

On peut contrôler la relation de dimension sans attribuer arbitrairement une valeur à α. La courbe associée à ce calcul rend visible l’unique passage au niveau 1.

Données. On part de l’équation de la fiche, avec s pour la dimension et α pour le nombre algébrique. On suppose seulement 0 < |α| < 1.

1. Posons r égal à |α|^s. Comme s est positif, on a 0 < r < 1.

2. L’équation devient :

3. Sur l’intervalle de 0 à 1, la fonction 2r³ + r⁴ croît. Une dichotomie partant de cet intervalle consiste à tester son milieu, puis à conserver la moitié où la fonction franchit 1. En répétant ce test, on obtient 2(0,7166727492)³ + (0,7166727492)⁴ < 1 et 2(0,7166727493)³ + (0,7166727493)⁴ > 1. La racine est donc comprise entre ces deux nombres, d’où r ≈ 0,7166727493.

4. Le contrôle donne 2 × 0,7166727493³ + 0,7166727493⁴ ≈ 1, à la précision affichée.

Résultat. La relation impose |α|^s ≈ 0,7166727493. Pour obtenir la dimension s, il faut encore connaître |α| ; sans cette donnée, aucune valeur numérique de s n’est justifiée.

En dynamique symbolique, la fractale de Rauzy sert à étudier sous une forme géométrique l’organisation produite par la substitution de Tribonacci. Si l’on veut seulement suivre des valeurs numériques, la suite de Tribonacci est l’objet à consulter.

Dans l’étude des pavages, elle éclaire les liens entre une règle apériodique et une structure fractale. Si la question porte d’abord sur l’absence de répétition périodique d’un assemblage, le pavage apériodique est le point d’entrée adapté.

Pour examiner la finesse de la courbe, on utilise sa dimension de Hausdorff et l’équation liée au nombre algébrique α. Une dimension usuelle ne remplace pas ce calcul lorsque la structure observée est fractale.

Substitution de Tribonacci et suite de Tribonacci. La première agit sur trois symboles ; la seconde est une suite de nombres. Une succession de mots relève de la substitution, tandis qu’une succession de valeurs relève de la suite.

Fractale de Rauzy et pavage apériodique. La fractale est une courbe associée à une substitution ; le pavage est un assemblage qui ne se répète pas périodiquement. Leur lien historique et théorique ne les rend pas identiques.

Dimension de Hausdorff et dimension entière usuelle. La dimension de Hausdorff peut décrire une finesse fractale par une valeur non entière. Si l’on compte seulement les directions d’un espace ambiant, on ne mesure pas nécessairement la courbe elle-même.

Un α non précisé. L’équation contient |α| : connaître seulement le nom de la substitution ne fournit pas ici sa valeur. Le symptôme est une dimension numérique obtenue sans donnée pour α ; il faut d’abord identifier le nombre algébrique considéré.

Le cas |α| = 1. Le membre de gauche vaut alors toujours 3, quel que soit s, et ne peut pas valoir 1. Il faut vérifier 0 < |α| < 1 avant de chercher la solution positive décrite dans la fiche.

La valeur absolue ne détermine pas α. Deux nombres algébriques distincts peuvent avoir le même module. L’équation de dimension utilise ce module, mais elle ne permet pas de reconstruire le nombre algébrique ni toute la substitution.

Une proximité visuelle ne suffit pas. Deux tracés fractals peuvent se ressembler sans provenir de la substitution de Tribonacci. Pour employer le nom « fractale de Rauzy », il faut vérifier l’association à la substitution considérée, pas seulement l’aspect du dessin.

La suite de Tribonacci aide à distinguer la suite numérique de la substitution à trois symboles associée à la fractale.

La dimension de Hausdorff précise le sens de la mesure de finesse utilisée pour cette courbe fractale.

Le pavage apériodique prolonge le lien signalé entre la fractale de Rauzy et les assemblages sans période.