relative change

Un prix passe de 80 € à 100 €. Il augmente de 20 €, mais ce nombre seul ne dit pas quelle part du prix de départ représente la hausse. En comparant 20 à 80, on obtient un quart, soit 25 %.

L'accroissement relatif décrit donc la taille d'une variation par rapport à son point de départ. Deux barres à la même échelle rendent visible cette comparaison entre la hausse et la valeur initiale.

On considère une même grandeur dans un même contexte. Sa valeur initiale, notée V₁, doit être non nulle ; sa valeur finale est notée V₂. L'accroissement absolu vaut V₂ − V₁. L'accroissement relatif, noté r, rapporte cette différence à la valeur initiale : $r=\frac{V_2-V_1}{V_1}r=\backslash frac\{V\_2-V\_1\}\{V\_1\}$. Ce rapport est sans unité lorsque les deux valeurs sont exprimées dans la même unité.

Pour une valeur initiale positive, r est positif lors d'une hausse, négatif lors d'une baisse et nul si la valeur ne change pas. L'écriture en pourcentage multiplie le rapport par 100 : r = 0,25 correspond à 25 %. Le quotient V₂/V₁ est le coefficient multiplicateur ; il vaut 1 + r. Quand la valeur initiale est négative, le calcul algébrique reste défini, mais les mots « hausse » et « baisse en pourcentage » exigent de préciser le contexte.

Un abonnement coûte d'abord 80 €, puis 100 € pour la même période et le même service. On cherche la hausse proportionnelle au prix de départ, et non seulement la somme ajoutée. Les données sont la valeur initiale V₁ = 80 €, la valeur finale V₂ = 100 € et une unité commune, l'euro.

1. L'accroissement absolu est 100 € − 80 € = 20 €.

2. On rapporte cette hausse à la valeur initiale : $r=\frac{20}{80}=\mathrm{0,25}r=\backslash frac\{20\}\{80\}=0\{,\}25$.

3. On passe au pourcentage : 0,25 × 100 = 25 %. L'accroissement relatif de l'abonnement est donc de 25 %.

Le contrôle refait le trajet inverse. Le coefficient multiplicateur vaut 1 + 0,25 = 1,25, puis 80 € × 1,25 = 100 €. On retrouve exactement la valeur finale annoncée. Cette vérification confirme à la fois le choix de la valeur initiale et la conversion en pourcentage.

Pour suivre un prix, l'accroissement relatif indique le poids d'une hausse dans le prix de départ. Si la question porte seulement sur la somme supplémentaire à payer, l'accroissement absolu en euros est plus direct.

Pour comparer des évolutions dont les valeurs initiales diffèrent, le rapport remet les variations à la même échelle. Si les valeurs de départ sont identiques, comparer les différences absolues suffit aussi pour les classer.

Pour retrouver une valeur finale, on transforme l'accroissement relatif en coefficient multiplicateur. Une hausse de 25 % donne le facteur 1,25 ; avec 80 €, le produit 80 € × 1,25 redonne 100 €.

Accroissement absolu. Il s'exprime dans l'unité de la grandeur, tandis que l'accroissement relatif est un rapport sans unité. De 80 € à 100 €, le premier vaut 20 € et le second 25 %.

Coefficient multiplicateur. Il donne directement le facteur qui transforme la valeur initiale en valeur finale. Pour la hausse de 25 %, l'accroissement relatif vaut 0,25, alors que le coefficient multiplicateur vaut 1,25.

Points de pourcentage. Ils mesurent l'écart entre deux pourcentages, et non la variation relative d'une grandeur. Un taux qui passe de 20 % à 25 % gagne 5 points, mais son accroissement relatif est (25 − 20)/20 = 25 %.

Valeur initiale nulle. Si V₁ = 0, le dénominateur est nul : l'accroissement relatif n'est pas défini. Il faut alors donner la variation absolue et les deux valeurs, sans annoncer un pourcentage de variation.

Valeur initiale négative. Le signe du quotient peut contredire le vocabulaire courant. Un passage de −80 à −60 donne (−60 − (−80))/(−80) = −25 %, bien que la valeur numérique augmente. Il faut expliciter les valeurs et le sens concret de l'évolution.

Variations successives. Les pourcentages ne s'ajoutent pas en général, car chaque variation prend pour base la valeur obtenue juste avant. Après une hausse de 25 %, une baisse de 20 % ramène exactement à la valeur initiale : 1,25 × 0,80 = 1.

Choix du sens. Inverser le départ et l'arrivée change le dénominateur. De 80 € à 100 €, la hausse est de 25 % ; de 100 € à 80 €, la baisse est de 20 %. Il faut toujours identifier la valeur initiale avant le calcul.

Le glossaire Pourcentage montre comment écrire et interpréter un rapport sur cent.

La fiche coefficient multiplicateur prolonge le calcul en donnant le facteur qui transforme directement la valeur initiale en valeur finale.