reliability function

Une machine neuve démarre avec toutes ses chances de fonctionner. Après 500, 1 000 ou 2 000 heures, la question devient : quelle proportion de machines semblables n'aurait encore connu aucune panne ? La fonction de fiabilité associe à chaque durée cette probabilité de survie.

Sa valeur part de 1, soit 100 %, puis diminue avec le temps. Une fiabilité de 0,78 à 500 heures signifie qu'environ 78 machines sur 100 dépasseraient cette durée sans défaillance, dans le modèle choisi.

On considère une durée de vie aléatoire, notée T, et une durée fixée, notée t. La fonction de fiabilité R associe à t la probabilité que la durée de vie dépasse t, donc que le système n'ait pas encore défailli à cet instant. Si F est la fonction de défaillance, qui donne la probabilité que T soit inférieure ou égale à t, les deux fonctions sont complémentaires : $R(t)=P(T>t)=1-F(t)R(t)=P(T>t)=1-F(t)$.

R(t) est comprise entre 0 et 1 et ne peut pas augmenter lorsque t avance. Elle vaut 1 au départ dans le cadre décrit. Lorsque la défaillance finit par survenir avec probabilité 1, elle tend vers 0 pour des durées de plus en plus grandes. Ces valeurs sont des probabilités données par un modèle de durée de vie, non la promesse qu'un composant particulier tombera en panne à une date déterminée.

Dans le modèle de Weibull à trois paramètres, le paramètre β règle la forme, le seuil γ décale l'origine de la durée de vie et l'échelle η fixe l'ordre de grandeur des durées. Pour t strictement supérieur à γ : $R(t)=\exp \text{\hspace{0.17em}⁣}[-{\left(\frac{t-\gamma }{\eta }\right)}^{\beta }]R(t)=\backslash exp\backslash !\backslash left[-\backslash left(\backslash frac\{t-\backslash gamma\}\{\backslash eta\}\backslash right)^\{\backslash beta\}\backslash right]$. Au seuil t = γ, cette expression se prolonge avec la valeur 1.

La fonction s'organise autour de sept éléments. La variable aléatoire T représente la durée de vie ; t est la durée à laquelle on interroge le modèle. R(t) mesure la probabilité de dépasser t, tandis que F(t) mesure la probabilité d'avoir défailli au plus tard à t. Leur somme vaut 1.

Dans une loi de Weibull, β agit sur la forme de la décroissance, γ fixe le seuil à partir duquel la formule est écrite et η fournit l'échelle de temps. Les différences t − γ et le paramètre η doivent employer la même unité. Une fois la loi de T ou ses trois paramètres fixés, ces données suffisent à calculer R pour toute durée admissible et, par complément, F.

Un composant est modélisé par une loi de Weibull. Les durées sont exprimées en heures. Les données sont β = 2, γ = 0 heure, η = 1 000 heures, et l'on cherche la fiabilité à t = 500 heures.

1. On calcule la durée réduite : (500 − 0) / 1 000 = 0,5.
2. On élève cette valeur à la puissance β : 0,5² = 0,25.
3. On applique l'exponentielle : $R(500)=e^{-\mathrm{0,25}}\approx \mathrm{0,7788}R(500)=e^\{-0\{,\}25\}\backslash approx0\{,\}7788$.
4. On prend le complément pour la défaillance : F(500) ≈ 1 − 0,7788 = 0,2212.

Le modèle attribue donc environ 77,88 % de chances au dépassement de 500 heures sans défaillance. Le contrôle est immédiat : 0,7788 + 0,2212 = 1. La courbe correspondante part de 1 et montre aussi les valeurs obtenues à 1 000 et 2 000 heures.

En maintenance prévisionnelle, on fixe une durée d'utilisation puis on lit R(t). Si la probabilité restante est jugée trop faible pour l'usage prévu, une intervention plus précoce est envisagée au lieu d'attendre la défaillance.

Pour comparer deux scénarios de durée de vie, on évalue leurs fonctions au même instant et dans la même unité. Comparer seulement leurs paramètres η n'est pertinent que si le reste du modèle, notamment β et γ, est également pris en compte.

En gestion du risque industriel, F(t) répond directement à la question « défaillant au plus tard à t », tandis que R(t) répond à « encore en fonctionnement après t ». Le choix entre les deux dépend donc de l'événement que l'on veut quantifier.

Fonction de fiabilité et fonction de défaillance. Elles portent sur deux événements complémentaires. À 500 heures dans l'exemple, R(500) ≈ 0,7788 concerne les composants qui dépassent cette durée ; F(500) ≈ 0,2212 concerne ceux qui ont défailli au plus tard à cette durée.

Fiabilité et durée de vie. T est une variable aléatoire exprimée ici en heures ; R(t) est une probabilité sans unité. Écrire « la fiabilité est 500 heures » confond donc la durée interrogée avec la probabilité qui lui est associée.

Fonction de fiabilité et loi de Weibull. La première est la fonction que l'on cherche ; la seconde est un modèle possible pour la durée de vie. Une fonction de fiabilité peut être définie à partir d'une autre loi, tandis que la formule donnée ici suppose précisément Weibull.

Décroissante ne signifie pas forcément strictement décroissante. Une fonction de fiabilité ne remonte jamais, mais elle peut rester constante sur un intervalle si aucune durée de vie modélisée n'y est possible. Il faut donc vérifier la loi choisie avant d'affirmer que toute attente diminue strictement R.

Le seuil γ borne la formule donnée. Dans l'écriture de Weibull à trois paramètres, le quotient (t − γ) / η s'emploie pour t > γ et R(γ) = 1. Introduire une durée inférieure au seuil dans cette formule peut produire une expression non pertinente ; il faut respecter le domaine du modèle.

Les unités doivent rester cohérentes. Si t et γ sont en heures, η doit aussi être en heures. Employer η = 1 000 heures avec t = 500 minutes fausse le quotient ; il faut d'abord convertir toutes les durées dans la même unité.

Une probabilité n'est pas un verdict individuel. R(500) ≈ 0,7788 décrit le modèle d'une population ou d'un mécanisme aléatoire. Elle ne permet pas de certifier l'état d'un composant précis à 500 heures ; ce constat nécessite une observation de ce composant.

La loi de Weibull approfondit le rôle de β, γ et η dans le modèle utilisé ici.

La fonction de répartition replace F(t) dans le cadre général des probabilités et éclaire directement l'identité R(t) = 1 − F(t).

La fiche sur la variable aléatoire précise le statut de T et la manière dont une durée incertaine reçoit une loi de probabilité.