Roger Cotes

À Cambridge, Roger Cotes occupe la chaire d'astronomie et de philosophie expérimentale. Il travaille avec Isaac Newton sur la seconde édition des Principia Mathematica, en améliorant un texte qui allait compter dans l'histoire des sciences.

Son nom reste aussi attaché à une idée très concrète : remplacer une courbe compliquée par une approximation construite à partir de quelques valeurs. Cette démarche aide à estimer une aire, une intégrale ou une valeur située entre deux mesures. Les formules de Newton-Cotes prolongent cette intuition par l'interpolation et la quadrature.

Roger Cotes est un mathématicien et astronome anglais dont les travaux relient l'analyse, la trigonométrie et les méthodes numériques d'approximation. Une méthode numérique remplace un calcul difficile à effectuer directement par une suite d'opérations portant sur des valeurs accessibles. Dans cette famille, l'interpolation construit une fonction simple qui passe par des valeurs connues, tandis que la quadrature estime l'intégrale d'une fonction, donc l'aire algébrique située sous sa courbe.

Les formules dites de Newton-Cotes utilisent des points régulièrement espacés pour choisir un polynôme d'interpolation, puis pour intégrer ce polynôme à la place de la fonction étudiée. Une formule à deux points donne ainsi la règle du trapèze ; des formules comportant davantage de points peuvent améliorer l'approximation lorsque la fonction est suffisamment régulière. Cette précision dépend des données disponibles et de la forme de la fonction, et non du seul nom de la formule.

La contribution de Cotes ne se limite pas à ces méthodes. Les formules d'interpolation et de quadrature issues de ces travaux portent aujourd'hui son nom conjointement avec celui de Newton : on les appelle formules de Newton-Cotes. Elle couvre également les logarithmes complexes et la trigonométrie. Sa collaboration avec Newton concerne notamment la révision et la publication de la seconde édition des Principia Mathematica.

Pour voir le principe d'une quadrature de Newton-Cotes, on cherche une valeur approchée de l'intégrale de f(x) = x² entre 0 et 1, en ne conservant que les deux valeurs aux extrémités. Les données sont : borne gauche 0, borne droite 1, f(0) = 0 et f(1) = 1.

On remplace d'abord la courbe par le segment qui relie les points (0, 0) et (1, 1).
La largeur de l'intervalle vaut 1 − 0 = 1.
La hauteur moyenne du trapèze vaut (0 + 1) ÷ 2 = 1/2.
L'aire approchée vaut donc 1 × 1/2 = 1/2.

Le résultat de la règle du trapèze est donc 1/2, tandis que l'intégrale exacte de x² sur cet intervalle vaut 1/3. L'écart vient du remplacement de la courbe par un segment. Le contrôle consiste à vérifier que la courbe de x² reste sous ce segment entre 0 et 1 : l'aire du trapèze doit donc être supérieure à l'aire exacte.

Quand une intégrale ne possède pas de calcul élémentaire pratique, une formule de quadrature transforme des valeurs de la fonction en estimation numérique. Le geste consiste à choisir les points, appliquer les poids de la formule, puis comparer la précision attendue à la régularité de la fonction.

Pour estimer une valeur entre des observations, l'interpolation fournit une courbe de remplacement. Si les points sont nombreux ou si la courbe varie fortement, on préfère souvent découper l'intervalle ou choisir une formule adaptée plutôt que d'étendre aveuglément un unique polynôme.

Dans une lecture historique, le nom de Cotes invite enfin à relier trois dimensions : la recherche mathématique, l'enseignement à Cambridge et le travail éditorial accompli avec Newton. Ces dimensions expliquent pourquoi son œuvre est à la fois théorique, numérique et documentaire.

Une interpolation ne se confond pas avec une quadrature. L'interpolation cherche une valeur ou une courbe de remplacement à partir de données connues ; la quadrature cherche une aire ou une intégrale. Dans l'exemple de x² sur [0, 1], le segment sert d'interpolant, puis son aire fournit l'approximation de l'intégrale.

Les formules de Newton-Cotes ne sont pas non plus une intégrale exacte par définition. Elles donnent une approximation obtenue avec des points et des poids déterminés. Le cas de x² montre le critère qui tranche : la règle du trapèze produit 1/2, alors que la valeur exacte est 1/3.

Le premier piège est de confondre une approximation avec une identité. Dans l'exemple précédent, 1/2 est une estimation et 1/3 est la valeur exacte : le signe ≈ serait approprié pour l'estimation, tandis que le signe = convient aux égalités calculées exactement.

Le deuxième piège apparaît lorsque les points sont régulièrement espacés mais que la fonction varie fortement entre eux. La règle peut alors manquer une oscillation ou une courbure importante. Il faut réduire le pas, découper l'intervalle ou employer une méthode mieux adaptée, puis contrôler l'erreur au lieu de présenter le résultat comme exact.

Enfin, une formule portant le nom de Newton-Cotes n'identifie pas une unique précision. Le nombre de points, leur espacement et la régularité de la fonction changent le comportement de l'approximation. Une conclusion fiable doit donc préciser la formule utilisée et les données auxquelles elle s'applique.

Pour prolonger l'exemple, la page formule de Newton-Cotes détaille la famille de règles qui transforme des valeurs régulièrement espacées en approximation d'intégrale.

La page interpolation parabolique permet ensuite d'étudier le remplacement de la droite par une courbe polynomiale passant par les données choisies.