SNCF distance

Imaginez un réseau dont toutes les voies passent par une gare centrale O. Pour rejoindre deux points situés sur des directions différentes, le trajet va d'abord jusqu'à O, puis repart vers la destination. Deux points pourtant proches à vol d'oiseau peuvent donc être éloignés selon ce réseau.

La distance SNCF traduit cette contrainte sur le plan. Quand les deux points et O sont alignés, elle conserve leur distance ordinaire. Sinon, elle additionne les deux distances à l'origine.

Dans le plan muni d'une origine O, la distance SNCF, aussi appelée distance du boulodrome, associe un nombre à deux points A et B. La longueur euclidienne du segment reliant deux points X et Y est notée |XY|. La distance SNCF entre A et B, notée d_S(A, B), se définit par deux cas :

Sur une même demi-droite issue de O, cette règle mesure l'écart entre les distances à O. Sur deux demi-droites différentes, elle mesure le trajet qui passe par O. Si les points sont sur des demi-droites opposées d'une même droite, |AB| vaut déjà |OA| + |OB| : les deux lectures coïncident. Cette formulation vérifie les propriétés d'une distance : elle est positive, symétrique, nulle exactement lorsque A = B, et satisfait l'inégalité triangulaire. Elle dépend toutefois du choix de l'origine O, contrairement à la distance euclidienne usuelle.

Dans un repère, prenons l'origine O de coordonnées (0, 0), le point A de coordonnées (3, 0) et le point B de coordonnées (0, 4). Le schéma matérialise le trajet imposé par O et le segment direct utilisé pour le contrôle.

Données.
O = (0, 0).
A = (3, 0), donc |OA| = 3 unités.
B = (0, 4), donc |OB| = 4 unités.
Les points A, B et O ne sont pas alignés.

Étape 1. Puisque les trois points ne sont pas alignés, la règle SNCF impose d'additionner les deux branches du trajet.

Étape 2. La distance SNCF entre A et B vaut donc exactement 7 unités.

Contrôle. Le segment direct forme l'hypoténuse d'un triangle rectangle de côtés 3 et 4. Sa longueur euclidienne vaut $\sqrt{3^2+4^2}=5\backslash sqrt\{3^2+4^2\}=5$ unités. La différence entre 5 et 7 confirme que la distance SNCF mesure le trajet contraint par O, et non le plus court segment du plan.

Dans un exercice, le premier geste consiste à vérifier l'alignement de A, B et O. S'ils sont alignés, on mesure |AB|. Sinon, on calcule séparément |OA| et |OB|, puis on les additionne.

Pour modéliser un réseau organisé autour d'un centre obligatoire, cette distance représente le trajet par le centre. La distance euclidienne reste préférable lorsque le déplacement direct entre les deux points est autorisé.

En cours sur les espaces métriques, cet exemple sert à tester les axiomes plutôt qu'à se fier au dessin. Le bon réflexe est de distinguer la longueur d'un segment de la règle choisie pour mesurer l'éloignement.

Distance euclidienne. Elle mesure la longueur du segment direct entre deux points. La distance SNCF suit une autre règle dès que les points et O ne sont pas alignés. Pour A = (3, 0) et B = (0, 4), la distance euclidienne vaut 5 unités, tandis que la distance SNCF vaut 7 unités.

Somme systématique des distances à O. La formule |OA| + |OB| n'est pas appliquée dans tous les cas. Si A et B se trouvent sur une même demi-droite issue de O, la distance SNCF est |AB|, c'est-à-dire la différence de leurs distances à O.

Un point est l'origine. Si A = O, les trois points sont alignés et d_S(O, B) = |OB|. La règle ne crée donc aucun détour artificiel au départ de l'origine.

Les points sont sur des directions opposées. A, O et B sont alors alignés, mais |AB| = |OA| + |OB|. Le passage par O est déjà contenu dans le segment direct ; il n'y a pas deux résultats concurrents.

Alignement presque réalisé. Deux points placés sur une même demi-droite peuvent avoir une petite distance SNCF. Dès que l'un quitte cette demi-droite, même très légèrement, la règle devient la somme des distances à O. Il faut donc tester l'alignement exact dans le modèle, sans le déduire d'un dessin imprécis.

Changement d'origine. Déplacer O peut modifier la distance SNCF entre deux points pourtant inchangés. L'origine appartient aux données du problème ; elle ne doit jamais être remplacée silencieusement par l'origine d'un autre repère.

La fiche norme montre comment une longueur peut engendrer une distance. Elle permet de comparer ce cadre à une métrique qui dépend d'une origine privilégiée.

L'Ultramétrique (distance) présente une autre distance inhabituelle, gouvernée par une version plus forte de l'inégalité triangulaire.

La notion d'espace métrique connexe prolonge la réflexion vers la forme globale d'un espace définie par sa distance.