subfamily
Dans un espace vectoriel ou un sous-espace, une famille extraite s’obtient en sélectionnant dans une famille de vecteurs des éléments distincts, en ne conservant qu’une occurrence de chaque vecteur retenu. Cette sélection peut modifier les propriétés de la famille de départ : une famille liée peut donner une sous-famille libre, tandis qu’une sous-famille d’une famille libre reste libre. On l’utilise notamment pour réduire une famille génératrice à une base, après vérification de la liberté et de la génération.
Contents
What you will learn
- Définir une famille extraite avec ses conditions.
- Suivre une sélection concrète dans le plan.
- Distinguer extraction, liberté et base.
- Repérer les limites liées à la génération.
In plain terms
Imaginez une collection de flèches dans un plan. Certaines peuvent être répétées. Former une famille extraite consiste à en retenir quelques-unes, sans garder deux fois le même vecteur. Le résultat est donc une sélection plus courte de la collection initiale.
Cette sélection ne conserve pas forcément toutes les propriétés de départ. Une famille de vecteurs qui contient une redondance peut donner une sélection libre. En revanche, lorsqu’aucune redondance n’existe déjà, chaque sélection de ses vecteurs reste libre. Ce geste de tri aide notamment à passer d’une famille génératrice à une base.
Definition
Soit une famille de vecteurs dans un espace vectoriel ou dans un sous-espace. Une famille extraite est obtenue en sélectionnant certains vecteurs de la famille de départ et en ne conservant que des vecteurs distincts. La famille initiale peut être finie ou infinie, et elle peut contenir des répétitions avant la sélection.
La notion porte sur les vecteurs retenus, non sur leur ordre ni sur un dessin particulier. Une famille extraite peut perdre une propriété qui dépendait d’un vecteur supprimé. Ainsi, une famille liée peut posséder une sous-famille libre. À l’inverse, toute famille extraite d’une famille libre est libre, car une relation linéaire nulle entre les vecteurs retenus serait aussi une relation entre les vecteurs de départ.
Dans ce cadre, extraire sert surtout à éliminer la redondance d’une famille génératrice. Lorsque la sélection conserve la génération de l’espace tout en devenant libre, elle fournit une base. Une famille extraite n’est donc pas automatiquement une base : elle doit encore engendrer le même espace.
A step-by-step example
Dans le plan, considérons la famille de vecteurs composée successivement de u = (1, 1), v = (2, 0), u = (1, 1) et w = (0, 2). Le vecteur u apparaît deux fois dans la famille de départ.
Les données utiles sont les suivantes : la famille de départ est (u, v, u, w) ; les vecteurs distincts disponibles sont u, v et w ; la sélection retenue est (u, v, w).
On repère d’abord la répétition : le premier et le troisième vecteur sont tous deux u = (1, 1).
On conserve une seule occurrence de u.
On conserve v = (2, 0) et w = (0, 2), qui sont distincts de u et l’un de l’autre.
La famille extraite obtenue est donc (u, v, w).
On conserve une seule occurrence de u.
On conserve v = (2, 0) et w = (0, 2), qui sont distincts de u et l’un de l’autre.
La famille extraite obtenue est donc (u, v, w).
Le contrôle est direct : la famille finale contient trois vecteurs et chacun des trois vecteurs distincts apparaît une fois. La sélection a supprimé une occurrence sans inventer de vecteur. Mais cette sélection est liée, car u = (1/2)v + (1/2)w, soit (1, 1) = (1/2)(2, 0) + (1/2)(0, 2). Elle n’est donc pas une base du plan : la sélection seule ne suffit pas à établir la liberté et la génération.
In practice
Dans un exercice où une famille génératrice contient des vecteurs redondants, on peut rechercher une famille extraite. Le geste consiste à retirer des vecteurs tout en vérifiant que les vecteurs restants engendrent encore le même espace.
Pour préparer une base, on préfère une famille extraite qui conserve la génération et devient libre. Le critère observable est alors double : aucun vecteur restant ne doit être combinaison des autres, et tout vecteur de l’espace doit rester engendré.
Si l’objectif est seulement d’obtenir une sélection sans répétition, il suffit de comparer les vecteurs retenus. Cette sélection est une famille extraite, mais elle ne remplace pas une vérification de liberté ou de génération lorsque ces propriétés sont nécessaires.
Not to be confused with
Une famille extraite ne doit pas être confondue avec une famille libre. Le critère qui les sépare est la liberté : la sélection de vecteurs distincts définit une famille extraite, tandis qu’une famille libre ne possède aucune relation linéaire non triviale entre ses vecteurs. Dans l’exemple, (u, v, w) n’est pas libre, car u = (1/2)v + (1/2)w : cette sélection est donc une famille liée, et non une famille libre.
Une famille extraite ne doit pas non plus être confondue avec une base. Le critère qui tranche est la génération de l’espace, en plus de la liberté. La sélection (u, v, w) est extraite de (u, v, u, w), mais elle n’est une base du plan que si elle engendre le plan et est libre.
Limits and pitfalls
Une famille de départ peut être liée sans que toute famille extraite le soit. La famille (u, v, u, w) contient déjà une répétition, alors qu’une sélection qui ne garde qu’une occurrence de chaque vecteur peut être libre. Le bon réflexe consiste à tester la propriété recherchée après l’extraction, plutôt qu’à la déduire de la famille initiale.
La suppression d’une répétition ne garantit pas la génération de l’espace. Dans le plan, une sélection de vecteurs tous colinéaires peut être sans répétition et pourtant ne pas engendrer le plan. Le symptôme est qu’un vecteur du plan ne s’écrit pas comme combinaison des vecteurs retenus ; il faut alors conserver ou choisir d’autres vecteurs.
Le mot « famille » peut autoriser une liste finie ou infinie, et la source admet des répétitions avant la sélection. Il faut donc préciser le cadre utilisé et vérifier que les vecteurs retenus sont bien distincts. Une sélection distincte ne devient pas automatiquement une base sans les tests de liberté et de génération.
Further reading
Pour prolonger cette notion, la fiche « famille libre » présente le critère qui permet de vérifier si une sélection de vecteurs ne contient aucune redondance linéaire : Famille libre. La fiche « Famille liée » éclaire le cas complémentaire, lorsqu’une relation linéaire non triviale subsiste entre les vecteurs : Famille liée.
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