the sparsity of prime numbers

Parmi les dix premiers entiers, quatre sont premiers : 2, 3, 5 et 7. Jusqu’à 100, on en compte 25 ; jusqu’à 1 000, 168. Leur nombre augmente donc, mais leur part diminue : 40 %, puis 25 %, puis 16,8 %.

Le théorème décrit cette tendance à très grande échelle. Aussi loin que l’on pousse le comptage, les nombres premiers restent infiniment nombreux, mais ils occupent une proportion qui finit par devenir aussi petite qu’on le souhaite.

Pour un entier positif n, la notation π(n) désigne le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à n. La proportion de nombres premiers dans l’ensemble des entiers de 1 à n est donc π(n)/n.

Dire que π(n) est négligeable devant n signifie que cette proportion tend vers zéro lorsque n devient arbitrairement grand : ${\lim }_{n\to +\mathrm{\infty }}\frac{\pi (n)}{n}=0\backslash lim\_\{n\; \backslash to\; +\backslash infty\}\; \backslash frac\{\backslash pi(n)\}\{n\}=0$. Les nombres premiers ne cessent pas d’apparaître ; c’est leur densité parmi tous les entiers qui devient nulle.

La source attribue ce résultat à Adrien-Marie Legendre en 1808. Le théorème des nombres premiers, démontré indépendamment par Jacques Hadamard et Charles Jean de la Vallée-Poussin à la fin du XIX^e siècle, est plus précis : il donne un équivalent de π(n) et entraîne cette limite.

Si n parcourt les entiers positifs et si π(n) compte les nombres premiers inférieurs ou égaux à n, alors : ${\lim }_{n\to +\mathrm{\infty }}\frac{\pi (n)}{n}=0\backslash lim\_\{n\; \backslash to\; +\backslash infty\}\; \backslash frac\{\backslash pi(n)\}\{n\}=0$.

Autrement dit, pour tout nombre réel ε strictement positif, il existe un seuil entier N tel que, pour tout entier n supérieur ou égal à N, on ait . L’énoncé garantit l’existence d’un seuil, sans en donner ici une valeur.

Le dénominateur n doit être un entier positif, et π(n) doit compter tous les nombres premiers inférieurs ou égaux à ce même n. La conclusion porte sur le comportement de leur quotient quand n tend vers l’infini ; elle ne fournit ni valeur exacte de π(n), ni seuil universel valable pour une précision non spécifiée.

Pour un entier fixé, par exemple n = 100, la limite seule ne permet pas de retrouver les 25 nombres premiers concernés. Il faut les compter, employer un crible pour un calcul exact, ou utiliser le théorème des nombres premiers si une approximation asymptotique suffit.

Comparons trois ensembles initiaux d’entiers. Les données sont π(10) = 4, π(100) = 25 et π(1 000) = 168. Pour chacun, on divise le nombre de nombres premiers par le nombre total d’entiers considérés.

1. Jusqu’à 10 : 4/10 = 0,4, soit 40 %.
2. Jusqu’à 100 : 25/100 = 0,25, soit 25 %.
3. Jusqu’à 1 000 : 168/1 000 = 0,168, soit 16,8 %.

Les effectifs 4, 25 et 168 augmentent, tandis que les proportions observées diminuent. Le contrôle se refait en multipliant chaque proportion par son total : 0,168 × 1 000 = 168, par exemple. Ces trois calculs illustrent la raréfaction, mais seule la limite établit le comportement pour des valeurs arbitrairement grandes.

Pour lire un tableau de comptage, on rapporte π(n) au total n. Le quotient mesure une proportion, alors que π(n) seul mesure un effectif. Cette distinction évite de conclure que les nombres premiers deviennent moins nombreux en valeur absolue.

Pour obtenir la liste exacte des nombres premiers sous un seuil modéré, un crible est préférable : la limite ne localise aucun nombre premier. Pour estimer leur quantité sous un très grand seuil, le théorème des nombres premiers apporte une information quantitative plus fine.

Pour interpréter une expérience numérique, on observe plusieurs seuils sans prendre une baisse locale pour une preuve. Le bon indicateur reste la tendance du quotient π(n)/n lorsque les seuils grandissent sans borne.

Avec le théorème des nombres premiers. La raréfaction affirme seulement que π(n)/n tend vers zéro. Le théorème des nombres premiers précise l’ordre de grandeur de π(n) ; il répond donc à une question quantitative plus fine.

Avec l’étude des écarts entre nombres premiers. La densité est une information globale jusqu’à un seuil. Un écart concerne deux nombres premiers consécutifs : connaître la proportion jusqu’à 1 000 ne détermine pas l’écart qui suit 1 000.

La proportion ne baisse pas à chaque entier. Elle vaut 4/10 = 40 % à n = 10, puis 5/11 ≈ 45,45 % à n = 11, car 11 est premier. Il faut lire une tendance à l’infini, pas une décroissance terme à terme.

Une densité nulle ne signifie pas un ensemble fini. Les nombres premiers continuent d’apparaître sans fin, bien que leur proportion parmi les entiers tende vers zéro. Confondre proportion et effectif conduit ici à une conclusion opposée au résultat.

Une limite n’est pas une estimation complète. L’égalité limite ne dit pas à quelle vitesse le quotient devient petit. Pour obtenir l’ordre de grandeur de π(n), il faut employer le résultat plus précis fourni par le théorème des nombres premiers.

Le glossaire théorème des nombres premiers présente le résultat asymptotique plus précis dont la raréfaction est une conséquence.

L’article L'inépuisable théorème des nombres premiers prolonge l’étude de leur répartition et de la portée de ce théorème.