Cuando el mejor matemático del mundo cambia su forma de pensar

Imaginemos a un gran maestro de ajedrez que, tras décadas jugando solo ante el tablero, se encuentra de repente con un compañero capaz de sugerir jugadas inéditas —a veces brillantes, a veces absurdas, pero siempre sorprendentes. Eso es, poco más o menos, lo que vive Terence Tao desde que incorporó la inteligencia artificial a su práctica cotidiana de las matemáticas. Y cuando Tao habla, la comunidad matemática mundial escucha atentamente.
¿Quién es Terence Tao? En dos palabras: el matemático vivo más admirado de su generación. Australiano-estadounidense, nacido en 1975, recibió la medalla Fields en 2006 —el equivalente del premio Nobel en matemáticas, concedido cada cuatro años a investigadores menores de cuarenta años por trabajos considerados excepcionales. Tao trabaja en campos tan diversos como la teoría de números, el análisis armónico o las ecuaciones diferenciales parciales. No es un matemático especializado en un único pasillo: es alguien que atraviesa con desconcertante facilidad los muros entre disciplinas.
Desde hace varios años es también una de las voces más serias y matizadas sobre la integración de la IA en la investigación matemática. Recientemente ha publicado una síntesis de sus experiencias y ha concedido varias entrevistas para detallar sus observaciones. El panorama que dibuja dista mucho del de un entusiasta ingenuo, pero también del de un escéptico refractario.

La IA como asistente de investigación: ni oráculo ni herramienta corriente

Para entender qué cambia la IA en el trabajo de un matemático, primero hay que comprender en qué consiste ese trabajo. Al contrario de lo que suele imaginarse, un matemático de alto nivel no pasa sus días haciendo cálculos. Busca estructuras, regularidades ocultas, caminos lógicos que conectan unas verdades con otras. Una demostración matemática es una cadena de argumentos en la que cada eslabón debe ser irrefutable: basta una sola grieta para que todo se derrumbe.
En este contexto, los grandes modelos de lenguaje —esos sistemas de IA entrenados con inmensos corpus de textos y capaces de producir lenguaje coherente, como GPT-4 o sus equivalentes— parecían en un principio poco adecuados para las matemáticas. Las matemáticas exigen una precisión absoluta; estos sistemas, en cambio, son conocidos por «alucinar», es decir, por producir afirmaciones falsas con una confianza imperturbable.
Sin embargo, Tao cuenta algo inesperado: bien utilizadas, estas herramientas pueden actuar como un sparring partner intelectual —un compañero de entrenamiento. No para validar demostraciones (no son fiables para ello), sino para explorar rápidamente pistas, reformular un problema desde otro ángulo o identificar analogías con resultados conocidos de otros campos. En suma, para acelerar la fase de exploración, incluso antes de que entre en juego el rigor.

«La IA no sustituye a la demostración. Pero puede cambiar la manera en que buscamos qué demostrar.»

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Cómo transforma la IA la cognición matemática

Tao se vuelve verdaderamente fascinante cuando habla no de sus resultados, sino de sus procesos mentales. Trabajar regularmente con herramientas de IA, afirma, modifica la manera en que formulamos los problemas. Aprendemos a descomponer una cuestión compleja en subcuestiones más precisas, porque la IA responde mejor a consultas bien delimitadas que a peticiones vagas. Al hacerlo, afinamos nuestro propio pensamiento.

Es un fenómeno bien conocido en psicología cognitiva: la herramienta moldea al usuario tanto como el usuario moldea la herramienta. La calculadora cambió nuestra manera de abordar el cálculo numérico. Los programas de geometría dinámica cambiaron la manera en que exploramos las figuras. La IA generativa está cambiando la manera en que exploramos los espacios de posibilidades matemáticas.

Pero esta transformación también plantea una pregunta incómoda: si la IA sugiere una dirección de investigación y el matemático la sigue hasta alcanzar una demostración válida, ¿a quién pertenece la intuición? ¿Sigue siendo enteramente humana la creatividad matemática? Tao no zanja la cuestión, y precisamente eso hace interesante su posición. No pretende tranquilizar. Observa.

La demostración formal asistida: un campo en desarrollo

Más allá de los grandes modelos de lenguaje, Tao también se interesa por otra familia de herramientas: los asistentes de demostración formal, como Lean o Coq. Estos programas permiten verificar mecánicamente cada paso de una demostración matemática, como un corrector ortográfico, pero aplicado a la lógica pura. Si un paso es falso o incompleto, el sistema lo señala de inmediato.

Tao ha participado en proyectos colaborativos que utilizan estas herramientas, en particular para formalizar resultados complejos con la ayuda de decenas de colaboradores en línea. La experiencia le ha mostrado que la formalización obliga a explicitar hipótesis que habitualmente se dejan implícitas, lo que puede revelar lagunas insospechadas incluso en demostraciones consideradas sólidas.

El reto a largo plazo es considerable: si pudiéramos combinar la potencia exploratoria de los grandes modelos de lenguaje con el rigor de verificación de los asistentes de demostración formal, dispondríamos de una herramienta capaz tanto de proponer vías como de validarlas. Aún no estamos ahí, pero la trayectoria es visible.

Lo que cambia para estudiantes y jóvenes investigadores

Para un estudiante de matemáticas o un joven investigador, las implicaciones son inmediatas y prácticas. Primer punto: la IA puede ser un tutor disponible las veinticuatro horas del día, capaz de explicar un concepto desde diez ángulos distintos hasta que uno de ellos haga clic. Es valioso, sobre todo cuando se duda en molestar a un director de tesis con una pregunta que parece «demasiado básica».

Segundo punto, más delicado: el riesgo de sortear el esfuerzo cognitivo. Aprender matemáticas consiste, en gran medida, en aprender a quedarse atascado y a salir de ahí por los propios medios. Esa fricción incómoda es el motor del desarrollo intelectual. Si la IA proporciona sistemáticamente la salida de emergencia, puede privar al aprendiz del beneficio del obstáculo. Tao insiste en ello: la herramienta debe amplificar el pensamiento, no sustituirlo.

Tercer punto: las competencias que importan están cambiando. Saber plantear las preguntas adecuadas a un sistema de IA —lo que se denomina prompting, el arte de formular consultas eficaces— se está convirtiendo en una competencia en sí misma. Saber evaluar críticamente una respuesta generada por una IA, identificar sus errores y extraer de ella lo útil: estas son aptitudes que la formación matemática tendrá que integrar explícitamente.

Ni utopía ni distopía

Del análisis de Tao se desprende una postura poco frecuente en los debates sobre la IA: ni el entusiasmo beato que anuncia el fin del trabajo humano ni la resistencia rígida que se niega a ver lo que realmente está cambiando. Las matemáticas, viene a decir, siguen siendo una actividad profundamente humana, pero el contexto en el que se desarrolla está transformándose a una velocidad sin precedentes.

La verdadera pregunta no es «¿va la IA a sustituir a los matemáticos?»; la respuesta es no, al menos en todo lo que atañe a la creatividad, la intuición profunda y el sentido de lo bello o importante en matemáticas. La verdadera pregunta es: «¿Cómo formar matemáticos capaces de trabajar con estas herramientas sin volverse dependientes de ellas?» Y para esa pregunta ni siquiera Terence Tao tiene aún una respuesta definitiva. Lo cual, en cierto modo, resulta tranquilizador.

Ideas clave

  • Terence Tao es medallista Fields —el «Nobel de las matemáticas»— y lleva años utilizando la IA en su investigación: si él lo hace en serio, el asunto merece realmente tomarse en serio.
  • La IA no demuestra en lugar del matemático: ayuda a explorar vías antes de que entre en juego el rigor, como un GPS que propone rutas, pero quien conduce es usted.
  • Usar regularmente la IA cambia la manera en que pensamos los problemas, no solo la manera de resolverlos. La herramienta modifica el cerebro que la utiliza.
  • Existen programas capaces de verificar cada paso de una demostración matemática como un corrector ortográfico verifica cada palabra, y a veces revelan grietas en demostraciones que todo el mundo creía sólidas.
  • Para los estudiantes, el verdadero peligro de la IA en matemáticas no es hacer trampas: es no volver a quedarse atascados y, por tanto, no aprender a salir adelante por sí mismos.

Para los amantes de las matemáticas

Una de las aplicaciones más rigurosas de la IA en matemáticas es la verificación formal de demostraciones. En este marco, una demostración no se escribe en lenguaje natural, sino en un lenguaje formal que un programa puede interpretar, por ejemplo Lean 4. Cada paso de la demostración es una instrucción que el sistema verifica mecánicamente según las reglas de la lógica y los axiomas elegidos —por lo general, los de la teoría de tipos dependientes o de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel—. Tao contribuyó al proyecto Polynomial Freiman-Ruzsa (PFR), en el que una compleja demostración combinatoria se formalizó por completo en Lean en unas semanas gracias a una colaboración distribuida. Lo matemáticamente notable es que la formalización obligó a los autores a explicitar lemas intermedios que estaban implícitos en la demostración original, revelando la estructura fina del razonamiento. A largo plazo, el reto es acoplar estos asistentes de demostración a modelos de lenguaje capaces de generar posibles demostraciones, lo que algunos denominan autoformalization: la traducción automática de enunciados en lenguaje natural a demostraciones formales verificables.
Fuente: artículo en alemán en Der Standard