Imaginemos que un asistente ultrarrápido nos entrega cada noche una pila de redacciones correctas en cuanto al contenido, pero escritas con cinco veces más palabras de las necesarias, con párrafos duplicados y rodeos inútiles. Sentiríamos alivio por no tener que escribir más, pero nos veríamos desbordados al no poder leerlas. Esa es exactamente la situación que describe Terence Tao, medalla Fields y profesor de la UCLA, en un mensaje publicado en Mathstodon a finales de junio de 2026: la inteligencia artificial acaba de cruzar un umbral crítico en la formalización automática de demostraciones matemáticas. Y ese salto crea tantos problemas como resuelve.
Un proyecto, una cola de tareas y, de pronto, el vacío
Para comprender lo ocurrido, primero hay que entender qué es el proyecto IEANTN —siglas de Integrated Explicit Analytic Number Theory Network (Red integrada de teoría analítica explícita de números). Como explica la página oficial del IPAM, el objetivo es construir una red dinámica de estimaciones en teoría analítica de números, un campo en el que cada constante numérica cuenta y un único error aritmético puede volver poco fiables decenas de cotas posteriores. Para ello, Tao y sus colaboradores formalizan artículos técnicos en Lean, un asistente de pruebas desarrollado por Leonardo de Moura y Sebastian Ullrich, descrito en las actas de CADE 28 como lenguaje de programación y verificador lógico a la vez: una demostración en Lean no es un texto que se lee, sino un programa que la máquina comprueba mecánicamente.
En la práctica, Tao dividía las demostraciones en pequeños lemas independientes, los publicaba como tareas abiertas y esperaba a que voluntarios se encargaran de ellos. El resultado habitual: varias semanas de espera. Según el diario personal de Tao en el repositorio de GitHub del proyecto, el 18 de junio de 2026 todavía había 22 tareas pendientes de que alguien se hiciera cargo de ellas. El 21 de junio: 7. Al cabo de 153 días de proyecto, se habían completado 320 tareas, y el cuello de botella había cambiado de naturaleza.
¿Qué ocurrió mientras tanto? Las herramientas de autoformalización —es decir, como las definen Yuhuai Wu y sus colegas en un artículo de Google Research, «el proceso de traducción automática desde las matemáticas expresadas en lenguaje natural hasta especificaciones y demostraciones formales verificables por máquina»— cambiaron de repente de régimen. Casi todas las tareas publicadas por Tao las procesa ahora la IA en unas horas. La cola de tareas se ha vaciado.
La digestión humana, bloqueada
Pero ahí está la paradoja. Las demostraciones generadas son correctas: Lean las acepta, el verificador no rechista. Sin embargo, son verbosas hasta un punto que ningún matemático asumiría voluntariamente. Cientos de líneas más de las que escribiría un matemático. Pasos redundantes. Lemas planteados con un nivel de abstracción inadecuado.
Tao llama a este fenómeno «desadaptación de impedancias», un término tomado de la electrónica, donde la impedancia designa la resistencia de un circuito a recibir una señal. Aquí, la señal es la demostración. Y las tres etapas del circuito —generación, verificación y digestión— ya no avanzan a la misma velocidad. La IA ha acelerado la generación en varios órdenes de magnitud. La verificación formal con Lean sigue siendo rápida. Pero la digestión humana —entender qué hace la demostración, juzgar si está bien estructurada, decidir si merece incorporarse a Mathlib, la gran biblioteca comunitaria de matemáticas formalizadas— esa digestión no se ha acelerado ni un ápice.
Cada demostración prolija añade decenas de segundos al tiempo total de compilación del proyecto. Si se multiplica por cientos de lemas, el efecto acumulado se convierte en un auténtico problema de ingeniería.
Lo que la IA no puede hacer sola
Tao ha identificado un límite claro. La IA sobresale en lo que se denomina code golf local: comprimir una demostración ya existente, eliminar pasos superfluos a escala de un lema. Pero la reconstrucción global se le escapa por completo.
Tomemos un ejemplo concreto, documentado en el diario del proyecto: si el mismo argumento aparece en varios lugares de un archivo de Lean, un matemático humano lo reconocerá, lo abstraerá en un lema reutilizable y se preguntará si ese lema no debería estar en Mathlib en vez de en un rincón aislado del proyecto. La IA puede ejecutar esa reestructuración si se le explica. No la descubre espontáneamente. Construye minibibliotecas locales —en torno a la inversión de Laplace, por ejemplo— que son correctas localmente y están mal organizadas en el conjunto.
Eso es exactamente lo que señala el artículo LeanMarathon, publicado en arXiv por Yuanhe Zhang y sus colegas: «la autoformalización de largo alcance falla no solo en los lemas difíciles, sino también al pasar a gran escala», por la deriva de los enunciados, el entrelazamiento de las dependencias y las reparaciones locales que degradan la coherencia a distancia. El problema de Tao tiene un nombre en la literatura y es sistémico.
¿Ve el cambio de perspectiva? Antes, el matemático esperaba a que se hicieran las demostraciones. Ahora debe anticipar cómo plantearlas para que la IA produzca algo integrable. El cuello de botella ha pasado de la ejecución a la arquitectura. El propio Tao lo afirma: ahora dedica más tiempo a planificar el alcance de las tareas que a demostrarlas.
¿Una nueva profesión para los matemáticos?
Este cambio tiene implicaciones concretas para cualquiera que trabaje con estas herramientas —investigadores, estudiantes de máster, colaboradores de proyectos de formalización—. La habilidad que cobra importancia ya no consiste solo en saber demostrar, sino en saber descomponer un problema de modo que los resultados de la IA sean revisables, modulares y compatibles con una arquitectura existente.
Es una habilidad propia tanto de un ingeniero de software especializado en bibliotecas como de un matemático. Mathlib, como describe el artículo fundacional de la comunidad mathlib, creció de 15 000 a 140 000 líneas de código en dos años, impulsada por 73 colaboradores. Integrar una demostración en este conjunto no consiste solo en hacerla correcta: hay que situarla en el nivel de abstracción adecuado, con las interfaces adecuadas y sin duplicar lo que ya existe. La IA produce piezas de puzle a una velocidad asombrosa. Pero decidir si la forma de una pieza encaja en el diseño de conjunto sigue siendo, por ahora, una tarea humana.
Tao presentó la arquitectura de este proyecto durante una conferencia en el ICERM el 15 de mayo de 2026, en el marco del programa «Techniques and Tools for the Formalization of Analysis». Menos de un mes después, el proyecto había cambiado de naturaleza. Esa es la velocidad a la que evoluciona este campo en estos momentos.
Conceptos clave
La impedancia desde dentro: lo que mide realmente este umbral
El término «desajuste de impedancias» merece que nos detengamos en él, porque esconde una estructura matemática precisa. En un sistema de procesamiento de información, la impedancia designa la resistencia de un componente a recibir o transmitir un flujo. Cuando dos componentes tienen impedancias incompatibles, la energía se disipa en la interfaz: es una pérdida, no una ganancia.
Aplicado a las demostraciones, el modelo es el siguiente. Llamemos G a la tasa de generación —lemas producidos por hora—, V a la tasa de verificación formal —pruebas aceptadas por Lean por hora— y D a la tasa de digestión humana —demostraciones comprendidas e integradas por hora—. Durante décadas, G fue el factor limitante: los humanos producían despacio, Lean verificaba rápido y la digestión avanzaba sin dificultad. El umbral cruzado por Tao corresponde a un cambio brusco: G se ha multiplicado por varios órdenes de magnitud, V ha aumentado ligeramente —las demostraciones más largas tardan más en compilarse— y D se ha mantenido constante. El cuello de botella ha pasado de G a D.
Este tipo de cambio es bien conocido en la teoría de colas, un campo de la investigación operativa que modeliza los flujos en sistemas con recursos limitados. Cuando se acelera una etapa de una cadena, la cola se desplaza a la siguiente etapa. No es un progreso parcial: es un cambio completo de régimen. La buena noticia es que el sistema produce más. La mala es que la optimización que hay que realizar ahora es completamente distinta de la anterior.
El problema de la reconstrucción global también tiene una dimensión combinatoria. Abstraer un argumento repetido en un lema reutilizable equivale a resolver un problema de factorización en un grafo de dependencias: hallar un subgrafo común a varias demostraciones, darle nombre y conectar todos los lugares en que se usa con ese nuevo nodo. Este problema —encontrar el «mejor» factor común en un grafo de demostraciones— es, en su forma general, computacionalmente difícil. No es casual que la IA, optimizada localmente, no logre resolverlo globalmente: por construcción, no dispone de una representación del grafo completo. Eso es precisamente lo que los investigadores de LeanMarathon llaman «el entrelazamiento de las dependencias», y ahí es donde el arquitecto humano sigue siendo, por ahora, insustituible.
