Immaginate che un assistente ultrarapido vi consegni ogni sera una pila di elaborati corretti nella sostanza, ma scritti con cinque volte più parole del necessario, con paragrafi duplicati e inutili divagazioni. Sareste sollevati di non dover più scrivere — e sopraffatti dal non riuscire più a leggere. È esattamente la situazione descritta da Terence Tao, medaglia Fields e professore alla UCLA, in un messaggio pubblicato su Mathstodon alla fine di giugno 2026: l’intelligenza artificiale ha appena superato una soglia critica nella formalizzazione automatica delle dimostrazioni matematiche. E questo passaggio crea tanti problemi quanti ne risolve.
Un progetto, una coda di ticket e, all’improvviso, il vuoto
Per capire che cosa è accaduto, bisogna anzitutto comprendere che cos’è il progetto IEANTN — acronimo di Integrated Explicit Analytic Number Theory Network (Rete integrata di teoria analitica esplicita dei numeri). Come spiega la pagina ufficiale dell’IPAM, l’obiettivo è costruire una rete dinamica di stime nella teoria analitica dei numeri — un ambito in cui ogni costante numerica conta e in cui un singolo errore aritmetico può rendere inaffidabili decine di limiti successivi. A questo scopo, Tao e i suoi collaboratori formalizzano articoli tecnici in Lean, un assistente di dimostrazione sviluppato da Leonardo de Moura e Sebastian Ullrich, descritto negli atti di CADE 28 sia come linguaggio di programmazione sia come verificatore logico: una dimostrazione in Lean non è un testo da leggere, ma un programma che la macchina controlla meccanicamente.
In concreto, Tao suddivideva le dimostrazioni in piccoli lemmi indipendenti, li pubblicava come compiti aperti e aspettava che dei volontari se ne facessero carico. Il risultato abituale: diverse settimane d’attesa. Secondo il diario personale di Tao nel repository GitHub del progetto, il 18 giugno 2026 c’erano ancora 22 compiti in attesa di qualcuno che li prendesse in carico. Il 21 giugno: 7. Al 153º giorno del progetto, erano stati completati 320 compiti — e il collo di bottiglia aveva cambiato natura.
Che cosa è successo nel frattempo? Gli strumenti di autoformalizzazione — ossia, come li definiscono Yuhuai Wu e colleghi in un articolo di Google Research, «il processo di traduzione automatica dalla matematica in linguaggio naturale a specifiche e dimostrazioni formali verificabili dalla macchina» — hanno improvvisamente cambiato passo. Quasi tutti i compiti pubblicati da Tao vengono ormai svolti dall’IA in poche ore. La coda dei ticket si è svuotata.
La digestione umana si blocca
Ed ecco il paradosso. Le dimostrazioni generate sono corrette — Lean le accetta, il verificatore non batte ciglio. Ma raggiungono un grado di prolissità che gli esseri umani non adotterebbero mai volontariamente. Centinaia di righe in più rispetto a quelle che scriverebbe un matematico. Passaggi ridondanti. Lemmi formulati a un livello di astrazione inadeguato.
Tao chiama questo fenomeno «disadattamento di impedenza» — un termine tratto dall’elettronica, dove l’impedenza indica la resistenza di un circuito a ricevere un segnale. Qui il segnale è la dimostrazione. E i tre stadi del circuito — generazione, verifica, digestione — non procedono più alla stessa velocità. L’IA ha accelerato la generazione di diversi ordini di grandezza. La verifica formale da parte di Lean resta rapida. Ma la digestione umana — capire che cosa fa la dimostrazione, valutarne la struttura, decidere se merita di entrare in Mathlib, la grande biblioteca comunitaria di matematica formalizzata — questa digestione non ha accelerato neppure di un iota.
Ogni dimostrazione prolissa aggiunge decine di secondi al tempo complessivo di compilazione del progetto. Moltiplicate questo valore per centinaia di lemmi e l’effetto cumulativo diventa un vero problema ingegneristico.
Ciò che l’IA non può fare da sola
Tao ha individuato un confine netto. L’IA eccelle in quello che si chiama code golf locale — comprimere una dimostrazione esistente, eliminando i passaggi superflui alla scala di un lemma. Ma la ricostruzione complessiva le sfugge del tutto.
Prendete un esempio concreto, documentato nel diario di bordo del progetto: se lo stesso argomento compare in più punti di un file Lean, un matematico umano lo riconoscerà, ne ricaverà un lemma riutilizzabile e si chiederà se quel lemma non debba trovare posto in Mathlib anziché in un angolo isolato del progetto. L’IA può eseguire questa ristrutturazione, se gliela si spiega. Non la scopre spontaneamente. Costruisce mini-biblioteche locali — per esempio attorno all’inversione di Laplace — corrette localmente, ma ordinate male nel quadro complessivo.
È esattamente ciò che rileva l’articolo LeanMarathon, pubblicato su arXiv da Yuanhe Zhang e colleghi: «l’autoformalizzazione a lungo orizzonte fallisce non solo sui lemmi difficili, ma anche su larga scala» — per deriva degli enunciati, intreccio delle dipendenze e correzioni locali che degradano la coerenza a distanza. Il problema di Tao ha un nome nella letteratura ed è sistemico.
Vedete il ribaltamento? Prima il matematico aspettava che le dimostrazioni fossero fatte. Ora deve anticipare come formularle affinché l’IA produca qualcosa di integrabile. Il collo di bottiglia si è spostato dall’esecuzione all’architettura. Tao stesso lo dice: ormai dedica più tempo a definire l’ambito dei compiti che a dimostrarli.
Un nuovo mestiere per i matematici?
Questo cambiamento ha implicazioni concrete per chiunque lavori con questi strumenti — ricercatori, studenti di laurea magistrale, collaboratori di progetti di formalizzazione. La competenza emergente non consiste più soltanto nel saper dimostrare: consiste nel saper scomporre un problema in modo che i risultati prodotti dall’IA siano revisionabili, modulari e compatibili con un’architettura esistente.
È una competenza di ingegneria delle biblioteche matematiche tanto quanto di matematica. Mathlib, come spiega l’articolo fondativo della comunità mathlib, è passata da 15 000 a 140 000 righe di codice in due anni, grazie al contributo di 73 persone. Integrare una dimostrazione in questo edificio non significa solo renderla corretta — significa collocarla al giusto livello di astrazione, con le interfacce appropriate, senza duplicare ciò che già esiste. L’IA produce pezzi di puzzle a una velocità stupefacente. Ma valutare se la forma del pezzo corrisponda al disegno d’insieme resta, per ora, un lavoro umano.
Tao presentò l’architettura di questo progetto in una conferenza all’ICERM il 15 maggio 2026, nell’ambito del programma «Techniques and Tools for the Formalization of Analysis». Meno di un mese dopo, il progetto aveva cambiato natura. È questa la velocità con cui il settore si sta evolvendo oggi.
Concetti da ricordare
L’impedenza dall’interno: che cosa misura davvero questa soglia
Vale la pena soffermarsi sul termine «disadattamento d’impedenza», perché nasconde una precisa struttura matematica. In un sistema di elaborazione dell’informazione, l’impedenza indica la resistenza di un componente a ricevere o trasmettere un flusso. Quando due componenti hanno impedenze incompatibili, l’energia si dissipa all’interfaccia — è una perdita, non un guadagno.
Applicato alle dimostrazioni, il modello è il seguente. Chiamiamo G il tasso di generazione (lemmi prodotti all’ora), V il tasso di verifica formale (accettazioni da parte di Lean, all’ora) e D il tasso di digestione umana (dimostrazioni comprese e integrate all’ora). Per decenni, G è stato il fattore limitante: gli esseri umani producevano lentamente, Lean verificava rapidamente e la digestione seguiva senza difficoltà. La soglia superata da Tao corrisponde a un brusco cambiamento: G è stato moltiplicato per diversi ordini di grandezza, V è aumentato leggermente (le dimostrazioni più lunghe richiedono più tempo per essere compilate) e D è rimasto costante. Il collo di bottiglia si è spostato da G a D.
Questo tipo di cambiamento è ben noto nella teoria delle code — un settore della ricerca operativa che modella i flussi nei sistemi a risorse limitate. Quando si accelera una fase di una catena, la coda si sposta verso quella successiva. Non è un progresso parziale: è un cambiamento completo di regime. La buona notizia è che il sistema produce di più. Quella cattiva è che l’ottimizzazione necessaria ora è completamente diversa da quella di prima.
Il problema della ricostruzione complessiva ha anche una dimensione combinatoria. Astrarre un argomento ripetuto in un lemma riutilizzabile significa risolvere un problema di fattorizzazione in un grafo delle dipendenze: trovare un sottografo comune a più dimostrazioni, dargli un nome e collegare tutti i punti d’uso a questo nuovo nodo. Il problema di trovare il «miglior» fattore comune in un grafo di dimostrazioni è, nella sua forma generale, computazionalmente difficile. Non è un caso se l’IA, ottimizzata localmente, non riesce a risolverlo globalmente: per costruzione, non dispone di una rappresentazione dell’intero grafo. È esattamente ciò che i ricercatori di LeanMarathon chiamano «l’intreccio delle dipendenze» — ed è qui che l’architetto umano resta, per ora, insostituibile.
