Left-hand limit

Imaginez que l’on avance sur l’axe des nombres vers 2, sans jamais atteindre ni dépasser 2. Pour chaque position x, on regarde la hauteur f(x) de la courbe. Si ces hauteurs se rapprochent d’une même valeur, cette valeur est la limite à gauche en 2.

Seul le comportement avant 2 compte. La hauteur réellement attribuée au point 2 peut être différente, et ce qui se passe après 2 n’intervient pas.

Soit f une fonction réelle définie pour des nombres arbitrairement proches d’un réel a tout en restant strictement inférieurs à a. Un réel L est la limite à gauche de f en a lorsque, pour tout ε > 0, il existe δ > 0 tel que tout x appartenant au domaine de f et vérifiant a − δ < x < a satisfait |f(x) − L| < ε. On écrit alors ${\lim }_{x\to a^{-}}f(x)=L\backslash lim\_\{x\; \backslash to\; a^-\}\; f(x)=L$, ou f(a−) = L.

La formulation par les suites donne un critère précis : pour toute suite de réels (x_n) appartenant au domaine de f, telle que x_n < a et x_n tende vers a, la suite des images f(x_n) doit tendre vers L. Les termes x_n n’ont pas besoin de former une suite décroissante ; ils doivent seulement rester à gauche de a et s’en approcher. Tester une seule suite ne suffit pas.

La valeur f(a) n’est pas nécessaire pour que cette limite existe. Lorsque f(a) est définie, la fonction est continue à gauche en a exactement si la limite à gauche existe et vaut f(a). Cette notion est une limite latérale : elle ne décrit que l’approche par les valeurs inférieures à a.

Considérons une fonction f définie par f(x) = 2x + 1 lorsque x < 2, et par f(2) = 7. Les données utilisées sont le point d’approche a = 2 et quatre valeurs situées à sa gauche : 1 ; 1,5 ; 1,9 ; 1,99.

1. On calcule successivement f(1) = 3, f(1,5) = 4, f(1,9) = 4,8 et f(1,99) = 4,98.

2. Les nombres x se rapprochent de 2 tout en restant inférieurs à 2. En même temps, les images 3 ; 4 ; 4,8 ; 4,98 se rapprochent de 5.

3. Pour tout x < 2, l’écart à 5 vérifie $\mathrm{\mid }f(x)-5\mathrm{\mid }=2\mathrm{\mid }x-2\mathrm{\mid }|f(x)-5|=2|x-2|$. Rendre x deux fois plus proche de 2 rend donc f(x) deux fois plus proche de 5.

La limite à gauche de f en 2 vaut ainsi 5. Pourtant, f(2) vaut 7 : la fonction n’est pas continue à gauche en 2.

Le graphique matérialise ce contrôle : la branche suivie avant 2 aboutit à une hauteur ouverte de 5, distincte du point plein de hauteur 7 attribué à x = 2.

Pour une fonction définie par morceaux, on utilise uniquement la formule valable lorsque x < a. Si les expressions changent au point a, ce critère évite de substituer trop tôt la valeur a dans la mauvaise branche.

Sur un graphique présentant un saut, on suit la courbe en avançant depuis les abscisses inférieures à a. Si l’on vient depuis les abscisses supérieures, on lit à la place la limite à droite.

Pour vérifier la continuité à gauche, on compare la valeur obtenue par cette approche avec f(a). Une différence entre les deux suffit à conclure que la fonction n’est pas continue à gauche en a, même si chacune des deux valeurs existe.

Limite à droite. Elle utilise les valeurs x > a, et non x < a. Une fonction en escalier peut ainsi avoir deux limites latérales différentes au même point.

Valeur de la fonction au point. La limite à gauche décrit les valeurs voisines avant a, tandis que f(a) est la valeur assignée exactement en a. Dans l’exemple, ces nombres valent respectivement 5 et 7.

Limite en a sans précision de côté. Pour une fonction réelle sur un voisinage de a, cette limite bilatérale exige que les limites à gauche et à droite existent et coïncident. Une seule limite latérale ne suffit pas.

Une suite témoin ne prouve pas la limite. Obtenir la même valeur avec x_n = a − 1/n montre seulement un chemin d’approche. Il faut que toutes les suites restant à gauche et tendant vers a donnent la même limite.

Les abscisses n’ont pas à être décroissantes. Pour approcher a par la gauche, elles restent inférieures à a et tendent vers a. La suite a − 1/n est même croissante : ses termes montent vers a.

Le domaine doit permettre l’approche. S’il n’existe aucun point du domaine strictement inférieur à a et arbitrairement proche de a, parler de limite à gauche en a ne décrit aucune approche effective dans ce cadre. Il faut alors examiner le domaine avant d’appliquer le critère.

« À gauche » porte sur x. Les valeurs f(x) peuvent se situer au-dessus ou au-dessous de la limite. Dans l’exemple, c’est la condition x < 2 qui sélectionne le côté, pas le signe ni la taille de f(x).

La limite à droite complète l’étude au voisinage d’un point en examinant cette fois les valeurs de x supérieures au point d’approche.