parity of a function
La parité d'une fonction numérique est une propriété de symétrie définie sur un domaine D centré en 0. Une fonction f est dite paire si, pour tout réel x appartenant à D, on a f(−x) = f(x) : sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Une fonction f est dite impaire si, pour tout réel x appartenant à D, on a f(−x) = −f(x) : sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'origine du repère. Ces deux propriétés ne sont pas exclusives l'une de l'autre ; une fonction peut aussi n'être ni paire ni impaire. Toute fonction définie sur un domaine centré en 0 peut néanmoins s'écrire comme somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire.
Contents
What you will learn
- Vérifier que le domaine autorise un test de parité.
- Distinguer une fonction paire d’une fonction impaire par le calcul et par la courbe.
- Établir qu’une fonction est ni paire ni impaire à l’aide d’un contre-exemple.
- Décomposer une fonction en une partie paire et une partie impaire.
In plain terms
Imaginez deux points d’une courbe placés aux abscisses 2 et −2. S’ils ont toujours la même hauteur, comme dans un miroir vertical, la fonction est paire. Si l’un se retrouve à la hauteur opposée de l’autre après un demi-tour autour de l’origine, la fonction est impaire.
Le test consiste donc à comparer les valeurs obtenues pour deux nombres opposés. La règle doit fonctionner pour toutes les valeurs du domaine, pas seulement pour quelques points bien choisis.
Definition
Soit une fonction numérique f définie sur un domaine D. Avant de parler de parité, le domaine doit être centré en zéro : chaque fois qu’un réel x appartient à D, son opposé −x doit aussi appartenir à D. La comparaison de f(x) et de f(−x) est alors possible pour chaque paire d’entrées opposées.
La fonction f est paire si pour tout réel x de D. Sa courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. Elle est impaire si pour tout réel x de D. Sa courbe est alors symétrique par rapport à l’origine du repère. La fonction nulle satisfait les deux égalités ; les deux propriétés ne sont donc pas exclusives. Une fonction peut aussi ne satisfaire aucune des deux propriétés.
Toute fonction f définie sur un domaine centré en zéro possède pourtant une partie paire et une partie impaire. Elles sont respectivement notées fp et fi et se calculent par et . Leur somme redonne f.
What it is made of
La parité repose sur quatre éléments liés. Le domaine doit contenir ensemble x et −x. Ces entrées opposées forment les paires à examiner. Leurs valeurs de sortie doivent être égales pour une fonction paire, ou opposées pour une fonction impaire. Enfin, la courbe traduit cette relation par une symétrie visible.
Le domaine rend la comparaison possible, puis l’égalité entre les valeurs détermine la symétrie de la courbe. Inversement, une symétrie exacte de la courbe permet de retrouver les valeurs sur une moitié du domaine à partir de l’autre moitié.
Ce sont le domaine et l’égalité valable pour tout x qui définissent la parité. La couleur, l’échelle ou l’épaisseur du tracé n’y changent rien. Ces données suffisent à classer la fonction et, si elle est paire ou impaire, à construire toute sa courbe à partir d’une moitié.
A step-by-step example
Considérons la fonction h définie sur tous les réels par h(x) = x3 + x2.
Données :
• le domaine est centré en zéro ;
• l’entrée choisie pour un premier test est x = 1 ;
• il faut comparer h(−x) à h(x), puis à −h(x).
Données :
• le domaine est centré en zéro ;
• l’entrée choisie pour un premier test est x = 1 ;
• il faut comparer h(−x) à h(x), puis à −h(x).
1. Remplacer x par −x : .
2. Calculer au point choisi : h(1) = 2 et h(−1) = 0.
3. Constater que 0 n’est ni égal à 2 ni égal à −2.
4. Conclure que h n’est ni paire ni impaire. Un seul contre-exemple suffit à invalider chacune des deux égalités universelles.
2. Calculer au point choisi : h(1) = 2 et h(−1) = 0.
3. Constater que 0 n’est ni égal à 2 ni égal à −2.
4. Conclure que h n’est ni paire ni impaire. Un seul contre-exemple suffit à invalider chacune des deux égalités universelles.
La décomposition fournit un contrôle complet : est la partie paire, tandis que est la partie impaire. Leur somme vaut bien x2 + x3, donc h(x). Les courbes de ces deux parties rendent visibles les deux symétries qui composent h.
In practice
Pour tracer une courbe, on peut d’abord établir sa parité par le calcul. Si la fonction est paire ou impaire, il suffit de tracer une moitié puis d’appliquer la symétrie correspondante. Sans parité, il faut étudier les deux côtés du domaine séparément.
Pour classer une formule, on remplace x par −x et on simplifie. L’égalité avec f(x) indique une fonction paire ; l’égalité avec −f(x) indique une fonction impaire. Si aucune identité ne tient pour tout x, le verdict est « ni paire ni impaire ».
Pour séparer les deux symétries d’une fonction quelconque, on calcule ses parties paire et impaire. Cette décomposition est disponible dès que le domaine est centré en zéro. Si le domaine ne contient pas les opposés, cette méthode ne s’applique pas.
Not to be confused with
Parité d’une fonction et parité d’un entier. Un entier est pair ou impair selon sa divisibilité par 2. Une fonction est paire ou impaire selon la relation entre ses valeurs en x et en −x. Par exemple, la fonction x ↦ x2 est paire, quel que soit le caractère pair ou impair de l’entier éventuellement choisi comme entrée.
Parité et signe. Dire qu’une fonction est positive compare ses valeurs à zéro ; dire qu’elle est paire compare f(−x) à f(x). La fonction x ↦ −x2 est ainsi paire tout en prenant des valeurs négatives ou nulles.
Limits and pitfalls
Domaine non centré en zéro. Si x appartient au domaine mais pas −x, la comparaison exigée n’est pas définie partout. Il faut d’abord vérifier le domaine au lieu de conclure à partir du seul tracé.
Fonction à la fois paire et impaire. La fonction nulle vérifie simultanément f(−x) = f(x) et f(−x) = −f(x). Il ne faut donc pas traiter les deux catégories comme toujours incompatibles.
Quelques points concordants. Des égalités observées pour deux ou trois valeurs ne prouvent pas une parité. La condition porte sur tout réel du domaine ; il faut établir une identité après avoir calculé f(−x).
Ni paire ni impaire. Ce verdict n’empêche pas la décomposition. Dans l’exemple h(x) = x3 + x2, le test en x = 1 écarte les deux parités, mais x2 et x3 restent respectivement ses parties paire et impaire.
Further reading
symétrie centrale — Approfondir la symétrie par rapport à un point et la relier à la courbe d’une fonction impaire.
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