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Empiler des boulets de canon

Michel Criton




Des questions pour les artilleurs et… les marchands d'oranges inspirent depuis plusieurs siècles les mathématiciens. Les empilements : un sujet canon !

 

 

Pour ranger des boulets de canon, le plus simple est de les empiler, couche après couche, chacune contenant un nombre carré de boulets : en partant du haut, un boulet, puis quatre boulets, puis neuf boulets… Cette configuration a intéressé les mathématiciens depuis longtemps. Si le côté du carré de base est n, le nombre total de boulets de la pyramide à base carrée est égal à n (n + 1)(2n + 1) / 6.
Le mathématicien français Édouard Lucas (1842–1891) a notamment posé le problème suivant : pour quelles valeurs n du côté de la base le nombre total de boulets est-il un carré ?
C’est évidemment le cas pour n = 1. Mais existe-t-il d’autres solutions ? Lucas conjecturait que la seule autre solution était n = 24, qui conduit à un nombre total de boulets égal à 4 900, carré de 70. L’unicité de cette autre solution n’a été démontrée qu’en 1918 par le mathématicien britannique George Neville Watson (1886–1965).

D’autres questions peuvent être posées à propos de ces pyramides à base carrée. On peut se demander par exemple si le nombre total de boulets peut être un nombre triangulaire. La réponse est positive, et il n’y a que quatre solutions : un boulet, cinquante-cinq boulets, quatre-vingt-onze boulets et deux cent huit mille trois cent trente-cinq boulets.
1. Quel est le côté de la base de ces pyramides à base carrée ?



On peut aussi envisager d’autres types d’empilements, comme par exemple, en pyramide à base triangulaire (c’est-à-dire en tétraèdre), même si c’est moins facile et sans doute moins stable qu’un empilement à base carrée.

Si le côté du triangle de base est n, le nombre total de boulets de la pyramide à base triangulaire est égal à
n (n + 1)(n + 2) / 6. On peut alors se demander pour quelles valeurs de n ce nombre total de boulets est un carré.
Dans ce cas également, il n’existe qu’un nombre fini de solutions, trois exactement, avec un boulet, quatre boulets ou dix-neuf mille six cents boulets, ce qu’a démontré le mathématicien amateur (et ancien capitaine d’artillerie !) A.J.J. Meyl en 1878.
2. Quel est le côté de la base de ces pyramides à base triangulaire ?

Autre question : pour quelles valeurs de n, côté de la base triangulaire, le nombre total de boulets est-il lui aussi un nombre triangulaire ? Là encore, il n’y a qu’un nombre fini de solutions, cinq exactement, avec un boulet, dix boulets, cent vingt boulets, mille cinq cent quarante boulets ou sept mille cent quarante boulets.
3. Quel est le côté de la base de ces pyramides à base triangulaire ?

Vous pourriez vous demander, des deux types d’empilements évoqués dans cette page, lequel est le plus compact, c’est-à-dire celui qui laisse le moins d’espaces vides entre les boulets. Il s’agit de l’empilement « triangulaire ». Cela a constitué la conjecture de Kepler (datant de 1611) qui n’a été totalement démontrée qu’en 2014 par le mathématicien américain Thomas Hales (voir Tangente 160).

 

 

SOLUTION