GéométrieThéorème · Glossaire
Sandwich au jambon (théorème du)
Le théorème du sandwich au jambon (ou théorème de Stone-Tukey) est un résultat de topologie affirmant que pour tout ensemble de n corps convexes mesurables dans ℝn, il existe un hyperplan qui les bissecte simultanément tous, c'est-à-dire qui partage chacun d'eux en deux parties de mesure égale. En dimension 2, le résultat s'applique à deux figures planes et une droite. En dimension 3, un sandwich au jambon (deux tranches de pain et une tranche de jambon) peut toujours être coupé en deux moitiés égales par un seul coup de couteau.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier ce que l'hyperplan partage simultanément en dimensions 2 et 3.
- Vérifier sur trois pavés les volumes obtenus de chaque côté d'un même plan.
- Distinguer existence, unicité et construction effective d'une coupe.
- Repérer la limite entre n corps garantis et n + 1 contraintes arbitraires.
En clair
Imaginez deux tranches de pain et une tranche de jambon, même décalées ou d'épaisseurs différentes. Un seul plan de coupe peut partager chacun des trois ingrédients en deux quantités égales. La coupe n'est pas forcément horizontale ni évidente à trouver. Le résultat affirme seulement qu'une orientation et une position convenables existent. Dans le plan, la même idée devient une droite qui partage simultanément deux figures en deux aires égales.
Définition
Le théorème du sandwich au jambon, aussi appelé théorème de Stone-Tukey, est un théorème d'existence. Dans l'espace euclidien de dimension n, noté ℝn, on considère n corps convexes mesurables. Un corps est convexe lorsque le segment joignant deux de ses points reste entièrement dans ce corps. La mesure de Lebesgue représente une longueur en dimension 1, une aire en dimension 2, un volume en dimension 3, ou son analogue en dimension supérieure.
Le théorème garantit un hyperplan affine qui bissecte les n corps à la fois : chacun des deux demi-espaces délimités par cet hyperplan contient la moitié de la mesure de chaque corps. En dimension 2, l'hyperplan est une droite et deux figures sont partagées. En dimension 3, c'est un plan et trois solides sont partagés. L'égalité concerne chaque corps séparément ; elle ne demande ni que les corps aient la même mesure, ni que le plan les découpe en morceaux de même forme.
Le principe
Si n corps convexes de mesure finie sont donnés dans ℝn, alors il existe un hyperplan affine H qui les bissecte simultanément. Pour chaque corps, les deux demi-espaces bordés par H en recueillent donc la même mesure. Ainsi, deux figures planes admettent une droite bissectrice commune, tandis que trois solides de l'espace admettent un plan bissecteur commun. L'énoncé assure l'existence de H, pas son unicité ni une procédure pour le construire.
Quand l'utiliser
Le nombre de corps doit correspondre au nombre n de dimensions du cadre considéré : deux en dimension 2, trois en dimension 3. Dans le cadre de cette fiche, chaque corps est mesurable, convexe et de mesure finie, afin que sa moitié soit bien définie. La coupe cherchée est un hyperplan affine, donc une droite dans le plan ou un plan dans l'espace.
Avec trois figures arbitraires dans le plan, une droite commune qui partage chacune en deux aires égales n'est plus garantie : il y a davantage de contraintes que de dimensions disponibles. Il faut alors relâcher l'égalité, autoriser plusieurs coupes ou employer un autre résultat de partage. Une région de mesure infinie sort également de ce cadre ; on doit d'abord choisir une portion ou une mesure finie pertinente.
Un exemple, pas à pas
Modélisons un sandwich centré dans un repère gradué en centimètres. La tranche de pain inférieure mesure 12 × 10 × 1 cm, le jambon 10 × 8 × 2 cm et la tranche supérieure 12 × 10 × 1 cm. Les trois pavés sont centrés par rapport au plan vertical d'équation x = 0.
1. Le volume de la tranche inférieure vaut 12 × 10 × 1 = 120 cm3.
2. Le volume du jambon vaut 10 × 8 × 2 = 160 cm3.
3. Le volume de la tranche supérieure vaut également 120 cm3.
4. Le plan x = 0 traverse le milieu de chaque pavé selon sa largeur. Il laisse donc, de chaque côté, 60 cm3 de pain inférieur, 80 cm3 de jambon et 60 cm3 de pain supérieur.
Le contrôle est direct : pour chaque ingrédient, la somme des deux moitiés redonne respectivement 120, 160 et 120 cm3. Ce sandwich symétrique rend la coupe visible ; le théorème garantit aussi l'existence d'un plan convenable lorsque les trois corps ne sont pas ainsi alignés.
En pratique
Pour partager trois ingrédients homogènes d'un sandwich, on cherche un plan qui égalise séparément le volume de chacun. Si leurs densités diffèrent à l'intérieur, le volume n'est plus le bon critère : il faut partager leur masse, modélisée par une mesure pondérée.
Sur une carte plane, une droite peut partager simultanément deux répartitions mesurables, par exemple deux populations distribuées sur un territoire. Si une troisième répartition doit aussi être équilibrée, la garantie disparaît en dimension 2 ; plusieurs frontières deviennent alors une alternative.
En calcul géométrique, le théorème sert de garantie avant une recherche numérique du plan. Le calcul approche les mesures de part et d'autre et ajuste la coupe. Déterminer explicitement une coupe à partir de données générales demande une recherche ou une construction supplémentaire, car le théorème seul ne donne pas le plan.
À ne pas confondre
Une simple bissectrice d'aire. Pour une seule figure plane, de nombreuses droites peuvent partager l'aire en deux. Le théorème du sandwich au jambon impose qu'une même droite réalise ce partage pour deux figures simultanément.
Le théorème de Borsuk-Ulam. Celui-ci compare les valeurs d'une application continue en deux points antipodaux d'une sphère. Il fournit un outil classique pour établir le théorème du sandwich au jambon, mais son énoncé ne parle pas directement de couper des corps mesurables.
Deux morceaux congruents. Une bissection égalise la mesure, pas la forme. Une coupe qui donne deux volumes égaux satisfait la conclusion même si les morceaux obtenus ne se superposent pas.
Limites et pièges
Existence sans unicité. Un sandwich symétrique peut admettre plusieurs plans bissecteurs communs. Le symptôme est qu'une rotation ou un déplacement conserve les trois égalités ; il ne faut donc pas chercher « le » plan comme s'il était unique.
La limite n contre n + 1. En dimension n, le théorème garantit la bissection simultanée de n corps, non de n + 1 corps arbitraires. Dans le plan, deux figures conviennent, tandis qu'une troisième contrainte peut rendre toute droite impossible ; il faut réduire les contraintes ou multiplier les coupes.
Mesure et apparence. Une moitié visuellement plus grande peut pourtant avoir la même masse si la densité varie. Le symptôme est un désaccord entre volumes et poids ; il faut préciser la mesure à bissecter avant de chercher la coupe.
Théorème non constructif. Savoir qu'un hyperplan existe ne fournit ni ses coefficients ni un algorithme exact. Si les données sont numériques, il faut ajouter une méthode de recherche et contrôler séparément l'erreur sur chaque moitié.
Pour aller plus loin
Le théorème de Borsuk-Ulam éclaire l'outil topologique classique qui conduit à l'existence d'une coupe commune.
La fiche Hyperplan précise la nature géométrique de la frontière qui réalise la bissection en dimension n.
L'article La géométrie convexe replace les corps convexes et leurs propriétés dans un cadre plus large.
Explorez les mathématiques autrement
Retrouvez nos magazines, podcasts et jeux pour explorer les mathématiques autrement.
Découvrir les offres