alternating map
Une application f définie sur un produit d'espaces vectoriels E × E à valeurs dans un espace vectoriel est dite alternée si pour tout vecteur u de E, on a f(u, u) = 0. Géométriquement, cela exprime que l'application s'annule chaque fois que ses deux arguments sont identiques. Remarque : dans le cas d'une application multilinéaire, les notions d'application alternée et d'application antisymétrique sont équivalentes lorsque 2 est inversible dans le corps de base.
Contents
What you will learn
- Reconnaître l'annulation lorsque deux arguments sont égaux.
- Calculer une forme alternée sur deux vecteurs du plan.
- Distinguer alternance et antisymétrie, notamment en caractéristique 2.
- Étendre le critère au cas multilinéaire.
In plain terms
Prenons deux flèches dans le plan. Une application alternée leur associe une valeur qui mesure ce qu'elles forment ensemble, mais elle renvoie zéro si les deux flèches sont identiques. Deux copies d'une même direction ne délimitent en effet aucun parallélogramme.
Dans l'exemple du déterminant, échanger les deux flèches change seulement le signe du résultat. La valeur absolue reste l'aire du parallélogramme, tandis que le signe en indique l'orientation.
Definition
Soit E un espace vectoriel sur un corps K, et soit F un autre espace vectoriel sur K. Une application f de E × E vers F est dite alternée lorsque chaque vecteur répété deux fois est envoyé sur le vecteur nul de F. Autrement dit, pour tout vecteur u de E : . Cette condition porte sur la diagonale du produit E × E.
Lorsque f est bilinéaire, l'annulation sur la diagonale entraîne pour tous les vecteurs u et v. On développe en effet f(u + v, u + v), qui vaut zéro. Une application vérifiant cette relation de changement de signe est dite antisymétrique.
La réciproque demande une précaution : si le corps K n'est pas de caractéristique 2, toute application bilinéaire antisymétrique est alternée. En caractéristique 2, le changement de signe ne suffit pas à imposer f(u, u) = 0. Pour une application multilinéaire à plus de deux arguments, « alternée » signifie qu'elle s'annule dès que deux arguments sont égaux.
What it is made of
Une application alternée à deux arguments repose sur quatre éléments : un espace vectoriel de départ E, un espace d'arrivée F, une règle f qui reçoit un couple de vecteurs, et le vecteur nul 0F qui sert de résultat-test. Les deux entrées appartiennent au même espace E, car la condition exige de pouvoir y placer deux fois un même vecteur.
La règle est alternée si tous les couples diagonaux (u, u) sont envoyés sur 0F. Si la règle est en plus bilinéaire, sa valeur sur des sommes et des multiples se déduit de ses valeurs sur des vecteurs de base. La bilinéarité et l'alternance jouent donc des rôles distincts : la première permet le calcul, la seconde impose l'annulation lorsque les entrées coïncident.
Dans une base de dimension finie, ces données suffisent à représenter une forme bilinéaire alternée par une matrice dont la diagonale est nulle. Hors caractéristique 2, les coefficients situés de part et d'autre de la diagonale sont opposés.
A step-by-step example
Dans le plan réel ℝ², considérons la forme déterminant ω. Pour deux vecteurs de coordonnées (x1, y1) et (x2, y2), elle est donnée par : .
Les données sont le vecteur u = (2, 1), le vecteur v = (1, 3) et la règle ω. La figure matérialise le parallélogramme construit sur ces deux vecteurs, dont la valeur signée sera calculée.
1. On remplace les coordonnées dans la règle : .
2. On effectue les produits puis la soustraction : . Le parallélogramme a donc une aire égale à 5 unités d'aire, avec une orientation positive pour l'ordre (u, v).
3. On échange les entrées pour contrôler le signe : .
4. On répète enfin le vecteur u : . Ce dernier calcul vérifie directement l'alternance.
In practice
Dans le plan, le déterminant de deux vecteurs détecte leur alignement. Une valeur nulle indique que le parallélogramme est aplati ; une valeur non nulle donne son aire orientée. Pour obtenir seulement l'aire géométrique, on prend la valeur absolue.
Pour vérifier qu'une forme bilinéaire est alternée, on peut calculer sa matrice dans une base. On contrôle que la diagonale est nulle et que les coefficients symétriques sont opposés. En caractéristique 2, le contrôle de la diagonale reste indispensable.
En dimension supérieure, le déterminant associe aux vecteurs un volume orienté. Si les vecteurs fournis deviennent dépendants, sa valeur s'annule ; si l'on ne veut pas conserver l'orientation, on retient la valeur absolue du déterminant.
Not to be confused with
Une application antisymétrique vérifie le changement de signe quand on échange ses deux arguments. Une application bilinéaire alternée est toujours antisymétrique. La réciproque est vraie lorsque 2 est inversible dans le corps de base, mais elle peut échouer en caractéristique 2.
Une application bilinéaire est linéaire séparément en chacun de ses deux arguments. Cette propriété n'impose aucune annulation : le produit scalaire usuel vérifie notamment f(u, u) > 0 pour tout vecteur réel non nul, donc il n'est pas alterné.
Limits and pitfalls
L'annulation sur les couples (u, u) ne produit une règle de changement de signe que si l'application est bilinéaire. Sans linéarité, on ne peut pas développer f(u + v, u + v) ; il faut alors vérifier séparément toute propriété concernant l'échange des arguments.
En caractéristique 2, on a −a = a pour tout scalaire a. Une forme bilinéaire peut donc être antisymétrique au sens du changement de signe sans être alternée. Par exemple, sur un espace vectoriel sur le corps à deux éléments, la règle b(x, y) = xy vérifie b(x, y) = −b(y, x), mais b(1, 1) = 1.
Pour une application à trois arguments ou davantage, tester seulement f(u, u, …) dans les deux premières places est insuffisant. L'alternance exige l'annulation dès que deux arguments quelconques sont égaux ; chaque paire de positions doit donc être couverte par la définition ou par un résultat qui l'implique.
Further reading
L'espace vectoriel précise le cadre dans lequel vivent les arguments et explique les combinaisons de vecteurs utilisées par la multilinéarité.
L'application bilinéaire détaille la linéarité séparée qui autorise le développement de f(u + v, u + v).
L'application antisymétrique approfondit l'effet de l'échange des arguments et la place particulière de la caractéristique 2.
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