alternating sequence
Une suite alternée est une suite numérique dont les termes changent de signe à chaque étape, les termes d'indices pairs et impairs étant alternativement de signe opposé. Autrement dit, si un terme est positif, le suivant est négatif, et réciproquement. Cette alternance de signes est notamment présente dans les suites de la forme (−1)^n · a_n, où a_n est une suite de termes positifs.
Contents
What you will learn
- Reconnaître l'alternance stricte à partir des signes de deux termes consécutifs.
- Lire la forme (−1)^n a_n en séparant signe et valeur absolue.
- Calculer et contrôler les cinq premiers termes d'un exemple conducteur.
- Distinguer une suite alternée d'une série alternée et d'une simple oscillation.
- Déterminer quand une suite alternée converge vers zéro.
In plain terms
Écrivons successivement 1, −1/2, 1/3, −1/4, 1/5. Les valeurs se placent tour à tour au-dessus et au-dessous de zéro : un terme positif est suivi d'un terme négatif, puis le mouvement recommence. Cette succession est une suite alternée.
L'alternance concerne seulement le signe. La taille des termes peut diminuer, augmenter ou rester constante. Ici, elle diminue, car les valeurs absolues sont 1, 1/2, 1/3, 1/4 et 1/5.
Definition
Une suite numérique est alternée lorsque deux termes consécutifs ont toujours des signes opposés. Si son terme d'indice n est noté un, ce critère s'écrit pour tout indice auquel les deux termes sont définis. Cette inégalité implique qu'aucun terme n'est nul.
Lorsque les indices commencent à 0 et que le premier terme est positif, on peut séparer le signe de la valeur absolue. En posant an = |un|, avec an strictement positif, la suite prend la forme . Les indices pairs donnent alors des termes positifs et les indices impairs des termes négatifs. Si le premier terme est négatif, un signe moins est placé devant cette expression.
Cette structure ne détermine pas l'évolution des valeurs absolues an. Elles peuvent suivre n'importe quelle suite strictement positive. En particulier, l'alternance seule ne suffit pas à conclure que un converge.
What it is made of
Quatre éléments décrivent la structure. L'indice n ordonne les termes. Sa parité, paire ou impaire, commande le facteur de signe (−1)n. La valeur absolue an donne la taille du terme sans son signe. Enfin, le terme un associe ce signe et cette taille.
Passer de n à n + 1 inverse le facteur de signe, tandis que la variation de an fixe l'évolution des amplitudes. La parité et les valeurs positives an suffisent donc à construire toute la suite. Un décalage du premier indice peut inverser tous les signes, mais il ne change pas le caractère alterné.
A step-by-step example
Considérons une suite indexée à partir de 0. Pour chaque entier n ≥ 0, sa valeur absolue vaut 1/(n + 1), et le facteur (−1)n fixe son signe. La définition complète est . Le tracé des cinq premiers termes rend visibles les changements de signe et la diminution de leur distance à zéro.
1. Pour n = 0, le facteur de signe vaut 1 : u0 = 1.
2. Pour n = 1, il vaut −1 : u1 = −1/2.
3. En poursuivant, on obtient u2 = 1/3, u3 = −1/4 et u4 = 1/5.
4. Chaque produit de deux termes consécutifs est négatif ; l'alternance est donc vérifiée.
2. Pour n = 1, il vaut −1 : u1 = −1/2.
3. En poursuivant, on obtient u2 = 1/3, u3 = −1/4 et u4 = 1/5.
4. Chaque produit de deux termes consécutifs est négatif ; l'alternance est donc vérifiée.
Le contrôle peut être refait sans calculer tous les termes : augmenter n de 1 change la parité et inverse (−1)n. Par ailleurs, 1/(n + 1) tend vers 0. La suite alternée considérée converge donc vers 0.
In practice
Dans une formule, on isole le facteur (−1)n et on vérifie que le facteur restant est toujours strictement positif. Si ce facteur peut changer de signe, il faut plutôt examiner directement les termes consécutifs.
Dans une table de valeurs, on repère l'ordre des signes. Une alternance stricte exige la succession +, −, +, − ou la succession inverse, sans deux signes identiques à la suite et sans zéro.
Pour étudier la convergence, on sépare le signe de la valeur absolue. Si les valeurs absolues tendent vers 0, la suite alternée tend vers 0 ; sinon, l'alternance ne fournit pas à elle seule une limite.
Not to be confused with
Une série alternée. Une suite est une liste de termes un, tandis qu'une série étudie les sommes partielles de ces termes. Ainsi, 1, −1/2, 1/3, −1/4 forme une suite alternée ; 1 − 1/2 + 1/3 − 1/4 est une somme partielle de la série associée.
Une suite oscillante. Une suite peut osciller sans changer de signe à chaque rang. Par exemple, des termes tous positifs qui montent et descendent sont oscillants, mais ils ne sont pas alternés. Le test décisif porte sur les signes consécutifs.
Une suite géométrique. Une suite géométrique de raison négative est alternée si aucun terme n'est nul, car chaque terme s'obtient en multipliant le précédent par un nombre négatif. Mais une suite alternée n'a pas nécessairement un quotient constant : l'exemple 1, −1/2, 1/3, −1/4 ne l'est pas.
Limits and pitfalls
Un terme nul interrompt l'alternance stricte. Dans 1, 0, −1, le zéro n'a pas de signe et le produit de deux termes consécutifs n'est pas négatif. Il faut alors décrire une alternance de part et d'autre du zéro, et non appliquer le critère strict sans précision.
Changer de signe ne garantit pas la convergence. La suite de termes (−1)n alterne entre 1 et −1 et n'a pas de limite. Pour une suite alternée, la convergence équivaut au fait que ses valeurs absolues tendent vers 0 ; sa limite est alors nécessairement 0.
La positivité de an est indispensable. Écrire seulement un = (−1)nan ne prouve rien si an peut être négatif. Il faut vérifier an > 0 pour chaque indice, ou tester directement unun+1 < 0.
Le signe des indices pairs dépend du départ choisi. Avec un premier terme négatif à l'indice 0, les indices pairs sont négatifs. Il faut ajouter un signe moins devant (−1)nan, plutôt que d'imposer la convention du premier terme positif.
Further reading
La convergence d'une suite numérique précise ce que signifie tendre vers une limite et permet de situer le cas particulier des suites alternées.
La convergence d'une série numérique prolonge l'étude lorsque l'on additionne les termes successifs au lieu d'observer seulement leur comportement.
La suite géométrique montre une famille dont les signes alternent lorsque la raison est négative, avec une valeur absolue régie par un quotient constant.
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