Argument of a complex number
L'argument d'un nombre complexe non nul z = x + iy est l'angle θ, défini à un multiple de 2π près, tel que z = |z| × (cos(θ) + i × sin(θ)), où |z| est le module de z. L'argument principal est la valeur de θ dans l'intervalle ]-π, π]. Géométriquement, l'argument est l'angle orienté entre l'axe réel positif et le vecteur représentant z dans le plan complexe. Si α et β sont des arguments de deux complexes non nuls, α + β est un argument de leur produit. Pour obtenir l'argument principal du produit, on réduit cette somme modulo 2π dans l'intervalle ]-π, π].
Contents
What you will learn
- Interpréter l’argument comme une direction orientée dans le plan complexe.
- Calculer l’argument principal de 1 + √3 i et contrôler le résultat.
- Relier l’argument du produit à la somme des arguments.
- Éviter les erreurs liées au zéro, au quadrant, à la périodicité et à l’intervalle principal.
In plain terms
Dans le plan complexe, le point de coordonnées (1, √3) représente le nombre complexe noté z = 1 + √3 i, où i est l’unité imaginaire. Le segment qui part de l’origine vers ce point indique une direction. L’argument mesure l’angle orienté depuis l’axe réel positif jusqu’à cette direction. Ici, la rotation est d’un sixième de tour, soit π/3. Allonger ou raccourcir le segment sans changer sa direction modifie le module, mais pas l’argument.
Definition
Soit un nombre complexe non nul noté z = x + iy, où i est l’unité imaginaire, x sa partie réelle et y sa partie imaginaire. Son module, noté r = |z|, est strictement positif. Un argument de z est un angle orienté noté θ qui vérifie . Géométriquement, cet angle va de l’axe réel positif au vecteur représentant z.
Les coordonnées donnent . Un même nombre complexe possède une infinité d’arguments : si θ convient, alors θ + 2kπ convient pour tout entier k. L’argument principal est l’unique représentant choisi dans l’intervalle ]−π, π]. Sur l’axe réel négatif, cette convention retient donc π et non −π.
Pour deux nombres complexes non nuls notés z1 et z2, les directions s’additionnent lors du produit : . Si la somme sort de ]−π, π], il faut lui ajouter ou retrancher un multiple de 2π pour obtenir l’argument principal du produit.
A step-by-step example
On cherche les arguments du nombre complexe z = 1 + √3 i, où i est l’unité imaginaire. Données : sa partie réelle vaut x = 1, sa partie imaginaire vaut y = √3 et ces deux nombres sont positifs. Le point représentant z appartient donc au premier quadrant.
1. Le module se calcule à partir des deux coordonnées : .
2. Le cosinus et le sinus de l’angle recherché valent .
3. Dans le premier quadrant, ces deux valeurs correspondent à θ = π/3. La figure matérialise simultanément les coordonnées, la distance à l’origine et cette rotation positive.
4. L’argument principal de z est donc π/3 radian, et tous ses arguments sont π/3 + 2kπ, avec k entier. Le contrôle remplace l’angle dans la forme trigonométrique : . On retrouve exactement le nombre de départ.
In practice
À partir des coordonnées d’un complexe, les signes de la partie réelle x et de la partie imaginaire y situent d’abord le quadrant. Des valeurs remarquables de sinus et de cosinus donnent parfois un angle exact, comme π/3 pour 1 + √3 i. Sinon, une calculatrice avec la fonction atan2(y, x) tient directement compte du quadrant.
Pour un produit de complexes non nuls, l’écriture par modules et arguments évite de développer les parties réelle et imaginaire : les modules se multiplient et les arguments s’additionnent. Pour une somme, cette règle ne s’applique pas ; l’écriture cartésienne x + iy reste alors le choix direct.
Dans une représentation du plan complexe, l’argument sert à comparer des directions, tandis que le module compare des distances à l’origine. Deux points non nuls placés sur une même demi-droite issue de l’origine ont le même argument, même s’ils ne sont pas à la même distance.
Not to be confused with
Argument et module. L’argument mesure une direction angulaire ; le module mesure une distance à l’origine. Les complexes 1 + √3 i et 2 + 2√3 i ont le même argument principal π/3, mais leurs modules valent respectivement 2 et 4.
Argument et forme trigonométrique. L’argument est seulement la donnée angulaire θ. La forme trigonométrique décrit le nombre entier avec son module et son angle. Ainsi, connaître π/3 sans connaître le module ne suffit pas à distinguer 1 + √3 i de 2 + 2√3 i.
Limits and pitfalls
Le complexe nul. Pour z = 0, aucun vecteur non nul ne fixe une direction : l’argument n’est pas défini. Il ne faut donc ni lui attribuer l’angle 0 ni appliquer une formule qui suppose z non nul.
L’unicité apparente. Écrire « l’argument vaut π/3 » désigne souvent l’argument principal. L’ensemble complet est π/3 + 2kπ, avec k entier. La convention ]−π, π] choisit π, et non −π, pour un réel strictement négatif.
Le quotient y/x. La valeur arctan(y/x) ne suffit pas à reconnaître le quadrant. Les complexes 1 + i et −1 − i donnent le même quotient 1, mais leurs arguments principaux sont π/4 et −3π/4. Il faut examiner les signes de x et y, ou utiliser atan2(y, x).
La somme des arguments d’un produit. Elle peut sortir de l’intervalle principal. Deux arguments principaux égaux à 3π/4 donnent une somme de 3π/2 ; l’argument principal du produit est alors −π/2 après soustraction de 2π.
Further reading
Forme trigonométrique d'un complexe montre comment le module et l’argument décrivent ensemble un nombre complexe non nul.
plan complexe précise le repère géométrique dans lequel l’argument se lit comme un angle orienté.
coordonnées polaires généralise le repérage d’un point par une distance et une direction angulaire.
fonction exponentielle complexe ouvre vers l’écriture exponentielle des rotations et des produits complexes.
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