Banach algebra

Prenons des fonctions continues sur l’intervalle [0, 1]. On peut les additionner, les multiplier et mesurer la plus grande valeur absolue qu’elles atteignent. Ces opérations restent compatibles avec cette mesure.

La complétude ajoute une garantie essentielle : si les fonctions d’une suite se rapprochent uniformément les unes des autres, elles tendent vers une fonction continue du même ensemble. L’algèbre ne présente donc pas de « trou » pour cette norme.

Une algèbre de Banach est une algèbre réelle ou complexe munie d’une norme. Elle possède donc une addition, une multiplication par un scalaire et un produit entre ses éléments. La norme est compatible avec ce produit : pour deux éléments notés f et g, $\parallel fg\parallel \le \parallel f\parallel \parallel g\parallel \backslash lVert\; fg\; \backslash rVert\; \backslash leq\; \backslash lVert\; f\; \backslash rVert\; \backslash lVert\; g\; \backslash rVert$. Cette inégalité rend la multiplication continue.

La condition décisive est la complétude : toute suite de Cauchy pour cette norme converge vers un élément de l’algèbre. Autrement dit, une suite dont les termes finissent par être arbitrairement proches possède une limite qui reste dans l’espace considéré. Selon les conventions, une algèbre de Banach peut être supposée associative et posséder un élément unité ; l’existence d’une unité doit donc être précisée.

L’exemple conducteur est l’ensemble C([0, 1], ℝ) des fonctions réelles continues sur [0, 1], avec les opérations effectuées point par point. Pour une fonction f, sa norme uniforme ‖f‖_∞ est le maximum de |f(x)| lorsque x parcourt [0, 1]. Cet ensemble est complet pour cette norme : la limite uniforme d’une suite de fonctions continues est encore continue. Il forme une algèbre de Banach commutative avec unité, la fonction constante égale à 1.

Dans C([0, 1], ℝ), considérons les fonctions f définie par f(x)=x et g définie par g(x)=1−x. Les données sont l’intervalle [0, 1], la norme uniforme et le produit point par point. Les deux fonctions ont pour norme 1.

1. Multiplions les valeurs prises au même point : la fonction produit h vérifie h(x)=x(1−x).

2. Réécrivons le produit sous une forme qui révèle son maximum : $h(x)=\frac{1}{4}-(x-\frac{1}{2}{)}^{2}h(x)=\backslash frac\{1\}\{4\}-(x-\backslash frac\{1\}\{2\})^2$.

3. Le carré est toujours positif ou nul. Le maximum de h vaut donc 1/4, atteint lorsque x=1/2. Ainsi, ‖h‖_∞=1/4.

4. Contrôlons la règle du produit : 1/4≤1×1. Le calcul confirme ‖fg‖_∞≤‖f‖_∞‖g‖_∞. La figure compare les trois fonctions et matérialise le maximum du produit.

Pour étudier une suite de fonctions continues, la norme uniforme convient lorsque l’on veut contrôler l’écart sur tout l’intervalle à la fois. Une convergence seulement point par point est une alternative plus faible et ne garantit pas une limite continue.

Pour résoudre une équation par approximations successives, la complétude garantit que des approximations formant une suite de Cauchy ont bien une limite dans l’espace. Il reste toutefois à démontrer que la suite est de Cauchy et que la norme choisie correspond au contrôle recherché.

Pour manipuler des fonctions comme des objets algébriques, le produit point par point est naturel lorsque la valeur en chaque x doit être multipliée séparément. Si le problème combine plutôt les valeurs en plusieurs points, une autre multiplication peut être nécessaire et doit être définie explicitement.

Avec un espace de Banach. Un espace de Banach possède une structure vectorielle, une norme et la complétude, mais pas nécessairement un produit interne entre ses éléments. C([0, 1], ℝ) devient une algèbre de Banach parce que le produit point par point y est défini et compatible avec la norme.

Avec une C*-algèbre. Une C*-algèbre est une algèbre de Banach complexe dotée en plus d’une opération d’adjoint et d’une identité reliant adjoint et norme. Une algèbre de Banach dépourvue de cet adjoint n’est donc pas une C*-algèbre.

Avec une algèbre normée non complète. Les mêmes opérations et l’inégalité sur le produit peuvent être présentes sans que toutes les suites de Cauchy convergent dans l’algèbre. Le test qui tranche est précisément la complétude pour la norme choisie.

La norme fait partie de la structure. Dire qu’une algèbre est complète sans préciser la norme est insuffisant. Il faut vérifier la propriété de Cauchy et la convergence avec la même norme ; une autre norme peut changer la question si elle n’est pas équivalente.

La convergence point par point ne suffit pas. Sur [0, 1], les fonctions x↦xⁿ sont continues, mais leur limite point par point vaut 0 avant x=1 et 1 en x=1. Cette limite est discontinue. Il faut employer la convergence uniforme pour rester dans C([0, 1], ℝ) avec la norme ‖·‖_∞.

Le produit doit respecter la norme. Une norme complète sur l’espace vectoriel ne suffit pas si le produit choisi ne vérifie pas l’inégalité sous-multiplicative. Il faut contrôler ‖fg‖≤‖f‖‖g‖, ou remplacer la norme par une norme compatible lorsqu’une telle norme existe.

L’unité n’est pas une convention universelle. La fonction constante 1 est bien une unité dans l’exemple conducteur, mais certaines définitions acceptent des algèbres de Banach sans unité. Il faut lire la convention retenue avant d’utiliser un argument qui suppose cet élément.

La fiche norme précise la mesure de taille qui donne un sens à la proximité et à l’inégalité sur le produit.

La fiche suite de Cauchy développe le critère qui exprime l’absence de trous dans une algèbre complète.

La fiche convergence uniforme montre pourquoi une suite de fonctions peut être contrôlée simultanément sur tout un intervalle.