uniform convergence
Soient A une partie d’un ensemble X, (E, d) un espace métrique, (fₙ) une suite de fonctions de X dans E et f une fonction de X dans E. La suite (fₙ) converge uniformément vers f sur A si, pour tout ε > 0, il existe un rang N tel que, pour tout n ≥ N et tout x ∈ A, d[fₙ(x), f(x)] < ε ; le même N contrôle donc simultanément tous les points de A.
Contents
What you will learn
- Lire correctement l’ordre des quantificateurs dans la définition.
- Prouver la convergence uniforme de fₙ(x) = x/n sur [0, 1].
- Distinguer convergence uniforme, simple, normale et locale uniforme.
- Identifier les hypothèses nécessaires pour conserver continuité et intégrale.
In plain terms
Imaginez une courbe qui se rapproche d’une courbe cible. Pour une précision choisie, la convergence uniforme exige un même moment à partir duquel tous les points de la courbe sont assez proches de leur cible. Aucun point ne doit avoir besoin d’attendre davantage.
Ce contrôle simultané est plus fort qu’un rapprochement vérifié point par point. Il empêche qu’une zone de mauvaise approximation se déplace ou persiste quelque part lorsque le rang augmente.
Definition
Soient un ensemble X, une partie A de X et un espace métrique E muni d’une distance d. Pour chaque entier naturel n, la fonction fn envoie X dans E, et la fonction f : X → E est la limite candidate. La suite (fn) converge uniformément vers f sur A lorsque, pour toute précision positive ε, il existe un entier Nε tel que la même borne soit respectée pour tout entier n au moins égal à Nε et pour tout point x de A.
Le point décisif est l’ordre des quantificateurs : Nε dépend de ε, mais pas de x. Lorsque les distances à f admettent une borne supérieure finie sur A, la condition équivaut à faire tendre vers zéro le supremum de l’erreur sur A. Si A est un espace topologique et si chaque fn est continue, une limite uniforme est continue. Pour des fonctions réelles intégrables sur un domaine de mesure finie, elle autorise aussi le passage de la limite sous l’intégrale.
A step-by-step example
Sur l’intervalle [0, 1], considérons, pour chaque entier n au moins égal à 1, la fonction fn qui associe x/n au nombre x. La fonction cible f vaut 0 partout. Les données sont donc le domaine [0, 1], la distance usuelle entre réels et une précision ε strictement positive.
1. Pour tout x de [0, 1], l’erreur vaut |x/n − 0| = x/n.
2. Comme x est compris entre 0 et 1, la plus grande erreur est atteinte en x = 1 et vaut exactement 1/n.
3. Choisissons Nε comme le plus petit entier strictement supérieur à 1/ε. Pour n au moins égal à Nε, on a 1/n < ε, quel que soit x.
Ainsi, (fn) converge uniformément vers f sur [0, 1]. Par exemple, pour ε = 0,25, le choix Nε = 5 convient : l’erreur maximale est alors au plus 1/5 = 0,2. Le contrôle se refait en évaluant l’extrémité x = 1 ; tous les autres points donnent une erreur plus petite.
In practice
Pour vérifier une convergence uniforme, on cherche une majoration de l’erreur valable sur tout le domaine. Dans l’exemple fn(x) = x/n sur [0, 1], la borne 1/n fournit directement un rang qui ne dépend pas de x.
Pour transmettre la continuité à la limite, la convergence uniforme est le bon critère. Une convergence seulement point par point ne suffit pas lorsque l’on veut exclure l’apparition d’une discontinuité.
Pour échanger limite et intégrale sur un intervalle borné, on vérifie d’abord les hypothèses d’intégrabilité et la convergence uniforme. Ici, l’intégrale de fn sur [0, 1] vaut 1/(2n) et tend vers 0, qui est l’intégrale de f. Sur un domaine non borné, il faut un autre contrôle de l’intégrale.
Not to be confused with
Convergence simple. Son rang peut dépendre du point x, tandis que le rang de la convergence uniforme doit convenir à tous les points. Pour fn(x) = x/n sur [0, 1], la borne commune 1/n prouve les deux convergences, mais seule la seconde exige ce contrôle global.
Convergence normale. Elle concerne une série de fonctions à valeurs dans un espace de Banach et demande la convergence d’une série de majorants uniformes. Elle implique alors la convergence uniforme des sommes partielles, mais ce n’est pas une autre définition de la convergence uniforme d’une suite quelconque.
Convergence locale uniforme. Elle impose le même rang sur chaque partie compacte du domaine, et non nécessairement sur le domaine entier. Un contrôle réussi sur tout intervalle borné ne prouve donc pas automatiquement un contrôle uniforme global.
Limits and pitfalls
Le domaine fait partie du verdict. Les fonctions fn(x) = x/n convergent uniformément vers 0 sur [0, 1], mais pas sur [0, +∞[. Pour chaque n fixé, l’erreur x/n n’y est pas bornée. Il faut restreindre le domaine ou employer une convergence locale uniforme.
« Pour chaque x » ne suffit pas. Si le rang obtenu contient encore x, le symptôme est une preuve de convergence simple. Il faut chercher le maximum ou une majoration de l’erreur indépendante de x.
La continuité doit être présente avant le passage à la limite. La convergence uniforme conserve la continuité lorsque chaque fonction de la suite est continue sur le domaine considéré. Elle ne rend pas continues des fonctions qui ne le sont pas.
L’intégrale demande son propre cadre. Sur un ensemble de mesure finie, l’intégrabilité et la convergence uniforme donnent un contrôle direct de l’erreur intégrale. Sur un domaine de mesure infinie, une erreur uniforme petite peut encore avoir une intégrale infinie ; il faut une hypothèse supplémentaire, telle qu’une domination intégrable.
Further reading
La fiche Convergence simple isole précisément ce qui change lorsque le rang peut dépendre du point.
La fiche sur la fonction continue approfondit la propriété que la convergence uniforme transmet à la limite.
La convergence normale présente un critère plus fort, adapté aux séries de fonctions.
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