Bertrand series
Les séries de Bertrand sont des séries à termes positifs dont le terme général est de la forme 1 / (nᵅ (ln n)ᵝ), avec α et β deux réels. Leur comportement est régi par le théorème de Bertrand : une telle série converge si et seulement si α > 1, ou si α = 1 et β > 1. Dans tous les autres cas (α < 1, ou α = 1 et β ≤ 1), la série diverge. Ces séries permettent de traiter des cas limites que le critère de comparaison avec les séries de Riemann ne suffit pas à trancher, notamment lorsque α = 1.
Contents
What you will learn
- Énoncer le critère complet selon les valeurs de α et β.
- Appliquer le critère au cas frontière α = 1 et β = 2.
- Contrôler cet exemple par une intégrale impropre.
- Distinguer une série de Bertrand d’une série de Riemann et d’une série géométrique.
- Éviter les erreurs aux seuils α = 1 et β = 1.
In plain terms
Imaginez que l’on additionne une infinité de parts de plus en plus petites. Le facteur nα impose leur décroissance principale ; le facteur (ln n)β affine cette décroissance. Le plus souvent, α décide seul. Mais lorsque α vaut exactement 1, la puissance du logarithme devient l’arbitre : la somme converge si β est strictement supérieur à 1 et diverge sinon. Ainsi, pour α = 1 et β = 2, les parts finissent par former une somme finie.
Definition
Une série de Bertrand est une série numérique à termes positifs, prise ici à partir d’un entier n ≥ 2. L’indice n repère le terme, α et β sont deux nombres réels, et ln n désigne le logarithme népérien de n. Son terme général un et la série associée s’écrivent :
Le critère de Bertrand donne une classification complète. La série converge lorsque α > 1, quelle que soit la valeur de β. Elle converge aussi dans le cas frontière α = 1 si β > 1. Elle diverge lorsque α < 1, ainsi que lorsque α = 1 et β ≤ 1. Quand β = 0, le facteur logarithmique vaut 1 : on retrouve une série de Riemann. L’intérêt propre de la famille apparaît surtout pour α = 1, car le logarithme départage alors des séries que la seule puissance de n ne distingue pas.
What it is made of
Cinq éléments organisent la série. L’indice entier n, pris à partir de 2, ordonne les termes. La puissance nα règle leur décroissance principale. Le logarithme ln n croît beaucoup plus lentement que n, tandis que l’exposant β renforce ou atténue son effet. Enfin, le symbole de somme additionne tous les termes jusqu’à l’infini.
Les deux exposants n’agissent donc pas au même niveau. Tant que α est différent de 1, sa position par rapport à 1 suffit à décider. C’est seulement à l’égalité α = 1 que β devient décisif, par sa propre position par rapport à 1. Ces données déterminent le terme un et suffisent à classer la série comme convergente ou divergente ; la façon de tracer ses termes ne fait pas partie de sa définition.
A step-by-step example
Étudions la série dont les données sont α = 1, β = 2 et n ≥ 2. Son terme général est donc un = 1/[n(ln n)2]. La puissance de n est exactement au seuil critique : il faut regarder β.
1. On relève α = 1. Le cas ne peut pas être tranché comme α > 1 ou α < 1.
2. On relève ensuite β = 2. Comme 2 > 1, le théorème de Bertrand annonce la convergence.
3. Un contrôle par l’intégrale confirme ce verdict. Pour x ≥ 2, on intègre la fonction positive 1/[x(ln x)2] :
4. L’intégrale est finie ; le critère intégral donne le même résultat : la série converge. Le contrôle est refaisable en dérivant −1/ln x, dont la dérivée vaut bien 1/[x(ln x)2]. La carte des paramètres matérialise aussi ce verdict : le point (1, 2) appartient à la frontière convergente.
In practice
Pour décider de la convergence, commencez par identifier l’exposant α de n. S’il est strictement supérieur à 1, la série converge ; s’il est strictement inférieur à 1, elle diverge. Le logarithme n’a alors pas à départager le cas.
Si α = 1, relevez l’exposant β du logarithme. Préférez alors le critère de Bertrand à une comparaison limitée à la série harmonique : β > 1 donne la convergence, tandis que β ≤ 1 donne la divergence.
Pour vérifier un calcul comme α = 1 et β = 2, le critère intégral offre une seconde voie lorsque la fonction correspondante est positive et décroissante. Il confirme ici la convergence sans fournir pour autant la somme exacte de la série.
Not to be confused with
Série de Riemann. Son terme est 1/nα, sans facteur logarithmique effectif. Elle correspond au cas β = 0 d’une série de Bertrand. À α = 1, la série de Riemann est harmonique et diverge, alors que la série de Bertrand choisie ici avec β = 2 converge.
Série géométrique. Une série géométrique se reconnaît à un quotient constant entre deux termes successifs. Pour une série de Bertrand, ce quotient dépend de n et tend vers 1. Le test du quotient ne tranche donc généralement pas ; les seuils sur α et β sont le bon critère.
Limits and pitfalls
Commencer à n = 1. L’expression fait intervenir ln 1 = 0 et peut ne pas être définie. On commence donc à n = 2, ou à tout entier assez grand. Retirer ou ajouter un nombre fini de termes ne change pas la nature convergente ou divergente.
Inclure le seuil β = 1. Pour α = 1, la convergence exige β > 1, et non β ≥ 1. Le cas un = 1/[n ln n] diverge : l’égalité appartient au côté divergent.
Laisser β décider quand α > 1. Même un exposant β négatif ne renverse pas le verdict : dès que α > 1, la série converge. Il faut appliquer les seuils dans leur ordre, en examinant β seulement lorsque α = 1.
Croire qu’un grand β compense α < 1. Aucune puissance fixe du logarithme ne suffit alors à rétablir la convergence. Le symptôme est un α strictement inférieur à 1 ; le théorème classe directement la série comme divergente.
Further reading
Série de Riemann — Retrouvez le critère fondé sur la seule puissance de n et situez précisément le cas β = 0 dans la famille de Bertrand.
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